北师大版数学九年级下册圆周角和圆心角的关系—知识讲解（基础）(含答案)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础）

【学习目标】

1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；

2．理解圆周角定理及推论；

3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．

【要点梳理】

要点一、圆周角
1.圆周角定义：
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.圆周角定理：
　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

3.圆周角定理的推论：
　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
    

要点二、圆内接四边形
1.圆内接四边形定义：

四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
 

2.圆内接四边形性质：

圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.

要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
 

【典型例题】

类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案与解析】

.
【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等．
举一反三：
【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于(   )

    A．45°    B．60°    C．30°    D．55°

【答案】A.

∵  AB＝BC＝CD＝DA，

∴  ，

∴  ∠BEC＝45°．

类型二、圆周角定理及应用

2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?

【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

【答案与解析】

(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；

 (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；

(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．

(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；

(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.

【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．

3.（2020•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．

（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；

（2）求证：∠1=∠2．

【答案与解析】
　（1）解：∵BC=DC，

∴∠CBD=∠CDB=39°，

∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；

（2）证明：∵EC=BC，

∴∠CEB=∠CBE，

而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，

∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，

∵∠BAE=∠CBD，

∴∠1=∠2．

【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．

4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？

为什么？

【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，

证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

【答案与解析】

BD=CD.

理由是：如图，连接AD
　　　∵AB是⊙O的直径
　　　∴∠ADB=90°即AD⊥BC
　　　又∵AC=AB，∴BD=CD.
    

【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.

举一反三：

【变式】（2020•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

　 A．2 B． 4 C． 4 D． 8

【答案】C.

提示：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=OC=2，

∴CD=2CE=4．

故选：C．

类型三、圆内接四边形及应用

5．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2:3:4，求∠D的度数.

【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数.

【答案与解析】

解：∵圆内接四边形的对角互补，

∴ ∠A：∠B：∠C：∠D=2:3:4：3

设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x，

∴2x+3x+4x+3x=360°，

∴x=30°.

∴∠D=90°.

【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.

举一反三：

【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（    ）.

A.110°     B.70°     C.55°      D.125°

【答案】D.