专题5-1 向量模、夹角与坐标运算-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题5-1 向量模、夹角投影与坐标运算

综述：

1.模公式：

。

2.平面向量数量积公式：

（1）。

（2）。

主要应用以下几个方面:

（1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；

（2）求投影， 在 上的投影是；

（3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

【题型一】向量夹角1：坐标运算

【典例分析】

（2022·福建南平·高三期末）设向量，，则与的夹角等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用向量的夹角公式求解即可

【详解】设与的夹角为，因为，，所以，

因为，所以，故选：A

【变式演练】

1.（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量与向量的夹角为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量的夹角公式和同角三角函数关系，即得解

【详解】由题意，

又

故选：D

2.（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可

【详解】设向量与的夹角为，因为，，且，

所以，得，所以，

所以，因为，所以，故选：A

3.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角大小为（       ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】D

【分析】计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.

【详解】向量，向量，

，

，且，

的夹角为.故选：D.

【题型二】向量夹角2：夹角锐钝

【典例分析】

（2023·全国·高三专题练习）若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接由且与不共线求解即可.

【详解】由题意知，且与不共线，且，解得．

故选：C.

【变式演练】

1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接由且与不共线结合向量的坐标运算求解即可.

【详解】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.

故选：D.

2.（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据与的夹角为锐角求出的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案.

【详解】当与的夹角为锐角时，且与不共线，

即，∴且，

∴“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.

3.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量数量积的定义计算即可.

【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得或，

当与共线时， ，， ，

此时和反向，不满足题意，

故x的范围为；故选：D.

【题型三】向量夹角3：模

【典例分析】

（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.

【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以，

所以，得，因为非零向量，满足，

所以，因为，所以，故选：C

【变式演练】

1.（2022·浙江·高三开学考试）已知向量满足，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.

【详解】，，

又，，，设与的夹角为，

，从而，所以与的夹角.故选：C

2.（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用得到数量积为0，得到，然后由数量积的定义可得夹角余弦值，从而得夹角大小

【详解】因为，所以，所以，

所以=，结合，所以与的夹角为，故选：B．

3.（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（       ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；

【详解】解：因为，为单位向量，所以，

又，所以，即，

所以，即，所以，

所以，因为，所以；故选：C

【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角

【典例分析】

（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】

由得：，即，解得，

因此，，而，解得，

所以与的夹角为.故选：B

【变式演练】

1.（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（       ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

【详解】因为，且，所以，

因为，

所以向量与夹角的余弦值为，故选：D

2.（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据，设，，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.

【详解】

因为，所以可设，，则，，

因为，所以，即.

则，故选：A.

3.（2022·辽宁锦州·一模）若，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先求得，再利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

由条件可知，两边平方后得，并且，

，

因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为 故选：A

【题型五】投影

【典例分析】

已知向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，且，则（    ）

A．    B．4    C．2    D．12

河南省林州市第一中学2019-2020学年高三5月月考数学试题

【答案】C

【解析】分析：向量在向量方向上的投影为，求出向量夹角，由向量在向量方向上的投影为，求出向量的模，将平方，结合平面向量数量积公式可得结果.

详解：设的夹角为，向量在向量方向上的投影为，且，

所以得，因为向量在向量方向上的投影为，

所以，

，

，故选C.

【变式演练】

1.已知向量,的夹角为120°，且则向量在向量方向上的投影为（    ）

A．       B．        C．       D．

【答案】D

【解析】

试题分析：根据数量积公式可得投影为，故选D.

2.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是（   ）

A．        B．    C．      D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由已知式子化简可得：，所以向量在向量方向上的投影为

3.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．

2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中)、江西省（南昌二中)等十四校高三第二次联考数学理科试题

【答案】

【分析】

由已知结合向量数量积的性质可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．

【详解】，，，，

5，则向量在向量上的投影为1，故答案为：﹣1．

【题型六】模与数量积

【典例分析】

若向量，，，则______________.

河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题

【答案】

【分析】由条件先求的值，再代入求值.

【详解】 解得：，

.故答案为：

【变式演练】

1.若等边的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

解析：因，则，即，应选答案A。

2.在△中， ， ， 是边上的一点，且，则的值为A．0    B．4    C．8    D．

【答案】B

【解析】试题分析：

， ,故选B.

3.已知向量满足，，则

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

详解：因为

所以选B.

【题型七】范围最值

【典例分析】

已知向量、的夹角为， ， ，则的取值范围是（  ）

A．    B．    C．    D．

[首发]浙江省温州市“十五校联合体”2019-2020学年高三下学期期中联考数学试题（A卷)

【答案】A

【解析】由，得…………①由，得…………②

由①②得，且从而有，又，故,选A.

【变式演练】

1.（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，则与夹角最大值时为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.

【详解】因为平面向量满足，所以，

所以，所以.

由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.

因为，所以，即时最大.

此时.

故选：D

2.已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由，可得，整理得，根据则在上的投影长度为，而其投影肯定会不大于，所以其范围为，故选D．

3.已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.

1．（·陕西·高考真题（文））已知向量，，若，则实数m等于（       ）

A．－ B．

C．－或 D．0

【答案】C

【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.

【详解】由知：1×2－m2＝0，即或.

故选：C.

2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

3．（·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（       ）

A． B． C．1 D．0

【答案】A

【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.

【详解】，，

.

故选：A.

4．（·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.

【详解】∵点在函数的图象上，

∴，，

∴点坐标为，，．

故选：D

5．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．

【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，

因为，所以，解得或，所以或，

故选：C．

6．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，又∵

∴9，∴故选：C.

7．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（       ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：,,即,解得,

故选：C

8．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；故选：D

9．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．

【答案】##

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.故答案为：.

10．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．

【答案】

【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得，

因此，.故答案为：.

11．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

【答案】

【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．故答案为：．

12．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.

【详解】，，，.

故答案为：.

13．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设，

则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即,

所以，

当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.

14．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则

________；________.

【答案】     0     3

【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则，

，，.

故答案为：0；3.

1.（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知向量，，，则向量与向量的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解..

【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，，，

所以，因为，，

所以，即向量与向量的夹角为.故选：D.

2.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出与的夹角为锐角时的充要条件是且，从而判断出答案.

【详解】因为与的夹角为锐角，则且与不共线.

时，，当时，

则与不共线时，，所以与的夹角为锐角的充要条件是且，

显然且是的真子集，

即“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A正确.故选：A

3.（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））设向量，满足，，与的夹角为，则等于（       ）

A．2 B．1 C．3 D．

【答案】B

【分析】利用向量数量积的运算法则及数量积的定义即得.

【详解】∵，，与的夹角为，∴，

∴，即.故选：B.

4.（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解.

【详解】

依题意，，则，即，

即，解得.故选：C.

5.已知向量， 满足， ， ，则向量在向量方向上的投影是_________．

【答案】-1

【解析】由题意可得： ，

据此可得： ，则

向量在向量方向上的投影是 .

6.已知，，且，则向量与的夹角余弦值是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由两向量垂直数量积为0，对化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.

【详解】因为，所以，

即，可得，

解得。故选：B

7.．已知单位向量，的夹角为，，则的取值范围是____________．

【答案】

解：，，且 ，的夹角为，.，

即.，即..

令，则，，则，

.的取值范围是.故答案为：.

8.在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.

【答案】

【分析】

通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.

【详解】

由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以

，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为

9.已知非零平面向量满足 ，且与的夹角为，则的最大值为____________

【答案】2

【分析】

运用平面向量夹角公式，结合向量的相关运算，即可将的最值求解.

【详解】

设与夹角为，则由题意，，

化简得，，

解得，

而由与夹角为，可知，

当时，显然，因为，不符合；

，符合.

当时，不符合，，符合；

则，

则当时，取得最大值.