(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题5 向量小题归类（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 向量基础：“绕三角形”（基底拆分）1
\l "_Tc26924" 【题型二】 系数未知型“绕三角形”2
\l "_Tc12217" 【题型三】 求最值型“绕三角形”4
\l "_Tc30563" 【题型四】 数量积4
\l "_Tc30563" 【题型五】 非数量积最值型5
\l "_Tc30563" 【题型六】 向良模6
\l "_Tc30563" 【题型七】 投影向量6
\l "_Tc30563" 【题型八】 向量机巧1：极化恒等式7
\l "_Tc30563" 【题型九】 向量机巧2：等和线8
\l "_Tc30563" 【题型十】 向量机巧3：奔驰定理与面积9
\l "_Tc30563" 【题型十一】解析几何中的向量10
\l "_Tc30563" 【题型十二】向量四心11
\l "_Tc30563" 【题型十三】综合以应用12
\l "_Tc30563" 【题型十四】超难小题12
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练13
【题型一】 向量基础：“绕三角形”（基底拆分）
【典例分析】
我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
基本规律
基础拆分的俩个公式，与位置无关。
（1）.
（2）
【变式演练】
1.如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
2.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
山东省淄博市桓台第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
3.，，为所在平面内三点，且，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【题型二】 系数未知型“绕三角形”
【典例分析】
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A．B．C．1D．

【提分秘籍】
基本规律
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
（1）选定基底，则、，是唯一的
（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系 。
【变式演练】
1.如图，正方形中，分别是的中点，若则（ ）
A．B．C．D．
2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
3.如图，中，与交于，设，，，则为
A．B．C．D．
【题型三】 求最值型“绕三角形”
【典例分析】
在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）
2.也可用均值不等式，或者建系设点三角换元
【变式演练】
1.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【题型四】 数量积
【典例分析】
已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为( )
A． B．－C． D．－
【提分秘籍】
基本规律
1.求解数量积，可以选择有长度或者角度关系的向量作为基底求解。
2..已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
【变式演练】
1.如图，在等腰直角中，，C为靠近点A的线段AB的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，则的值是
A．B．C．D．2
2.在中， ，点在上，，是的中点，，，则
A．1B．2C．3D．4
3.已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（ ）.
A．B．C．D．
【题型五】 数量积最值型
【典例分析】
在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A．B．
C．D．
在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为___________.
【题型六】 向量模
【典例分析】
若向量，，，且，则的最小值为_________．

【提分秘籍】
基本规律
1.向量的模是线段的长度
2.可以借助几何意义，也可以建系设点
【变式演练】
1.已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.
2.已知向量满足，且，则______.
3.设，为单位向量，则的最大值是________
【题型七】 投影向量
【典例分析】
已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
1.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

2.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
3.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.
【变式演练】
1.已知点、、、,则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
2.已知向量满足则在上的投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】 向量技巧1：极化恒等式
【典例分析】
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________.
【提分秘籍】
基本规律
基础知识：
在△中，是边的中点，则.
【变式演练】
1.已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

2.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为
A．2B．C．3D．
3、已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．
【题型九】 向量技巧2：等和线
【典例分析】
在ΔABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，则λ＝
A．−13 B．−23 C．13 D．23
【提分秘籍】
基本规律
等和线原理：
【变式演练】
1.如图，在ΔOMN中，A、B分别是OM、ON的中点，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则y+1x+y+2的取值范围是（ ）
A．13,23B．13,34C．14,34D．14,23
2.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，则x+y的取值范围是（ ）
A．1,4+23 B．4−23,4+23 C．1,2+3 D．2−3,2+3
【题型十】 向量技巧3：奔驰定理与面积
【典例分析】
设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为
A．6B．C．D．4
【提分秘籍】
基本规律
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
【变式演练】
1.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A．B．C．D．
2.为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A．B．C．D．
3.已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
【题型十一】 解析几何中的向量
【典例分析】
已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A. B. C. D.
2.如图所示，已知椭圆：的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到，使得，，是椭圆上一点，延长到，若，则（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【题型十二】 向量四心
【典例分析】
已知O，N，P在所在平面内，且，，则点O，N，P依次是的 （ ）
A、重心 外心 垂心 B、重心 外心 内心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
【提分秘籍】
基本规律
在中：
1.重心：
2.外心：
3.内心：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)
4.垂心：
【变式演练】
1.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
3.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
【题型十三】 综合应用
【典例分析】
已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．[−2,12]B．[−2,0]C．[−4,12]D．[−4,0]
【变式演练】
1.．已知向量a,满足|a|=2，〈a,b〉=60°，且c=−12a+tb(t∈R)，则|c|+c-a的最小值为（ ）
A．934B．4C．213D．13
2.设，，为非零不共线向量，若a−tc+1−tb≥a−ct∈R，则（ ）
A．a+b⊥a−cB．a+b⊥b+c
C．a+c⊥a+bD．a−c⊥b+c
3.已知平面向量akk=1,2,...,6满足：ak=kk=1,2,...,6，且a1+a2+...+a6=0，则a1+a2⋅a5+a6的最大值是（ ）
A．9B．10C．12D．14
【题型十四】 超难小题
【典例分析】
已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【变式演练】
1.已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是___．
2.已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________.
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．
1.如图所示，在中，设，的中点为，的中点为，的中点恰为，则（）
A．B．C．D．

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且，AE与BF交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．

3.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3B．C．4D．

4.边长为6的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（ ）
A．-12B．-9C．D．

5.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A．B．C．D．

6. 如图，在平面四边形中，为的中点，且，．若， 则的值是 ．
7.已知点P为ABC内一点，，则，，的面积之比为（ ）
A．B．C．D．

8.已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

9. 在中，边上的高线为，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
10.是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是__________．

11.已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________.

12.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．