专题12-1 参数方程与极坐标归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题12-1 参数方程与极坐标归类 目录【题型一】三种弦长公式【题型二】参数方程难点1：万能代换型消参【题型三】参数方程难点2：“1”的代换消参型【题型四】参数方程难点3：分离常数消参【题型五】极坐标“一线两点”型【题型六】极坐标“两线两点”型【题型七】极坐标最值范围型【题型八】直线参数方程标准型【题型九】直线参数方程范围最值【题型十】椭圆参数方程“参数点”型【题型十一】椭圆参数方程范围最值型【题型十二】抛物线参数方程真题再现模拟检测 【题型一】三种弦长公式【典例分析】在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程：（为参数）.(1)求l和C的直角坐标方程；(2)若直线l被曲线C所截得线段的中点坐标为，求.   【提分秘籍】基本规律一、圆锥曲线弦长公式二、直线参数方程弦长公式三、极坐标体系弦长公式  【变式演练】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求和的极坐标方程；(2)直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.  【题型二】参数方程难点1：万能代换型消参【典例分析】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．   【提分秘籍】基本规律【典例分析】这道题的具体消参计算过程方法1：万能代换型 消去参数：方法二：分析数据配凑法。方法三：简洁的根本是计算中间一步的细节处理发现x是对应齐次单变量参数形式，可以反解出因为t是平方形式，所以需要y平方后代入，计算细节在于代入后，分母那个计算，一定要先通分，这样出来几乎没有计算量   【变式演练】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若点为曲线C上的两点，且满足，求的最大值． 【题型三】参数方程难点2：“1”的代换消参型【典例分析】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若点A的坐标为（1，0），直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．  【提分秘籍】基本规律借助公式平方消元  【变式演练】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明：为定值. 【题型四】参数方程难点3：分离常数消参【典例分析】平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，Q为曲线上的动点，求的中点M到曲线的距离的最大值.  【变式演练】在平面直角坐标系中，直线的方程为为参数，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；(2)设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值. 【题型五】极坐标“一线两点”型【典例分析】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程是．(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)射线：与曲线交于点O和点A，将射线按逆时针方向旋转，得到射线，射线与曲线交于点B，试求的最大值．江西省赣州市十六县市二十校2023届高三上学期期中联考数学（理）试题 【提分秘籍】基本规律   【变式演练】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点．(1)求曲线，的普通方程；(2)，是曲线上的两点，求的值． 【题型六】极坐标“两线两点”型【典例分析】在平面直角坐标系xOy中，已知直线的方程为，曲线C的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点О为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)射线的极坐标方程为=，射线与曲线C交于点M(异于原点)，射线的极坐标方程为，射线与直线交于点N，求的值. 【提分秘籍】基本规律   【变式演练】在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，点P为曲线上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若点M，N分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.  【题型七】极坐标最值范围型【典例分析】在直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，为曲线C上的点．(1)求a的值，并求曲线C的直角坐标方程；(2)若A，B是曲线C上的两个动点，且，求面积的最大值． 【变式演练】在极坐标系中，射线的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，且射线与曲线C有异于点O的两个交点P，Q，(1)求的取值范围；(2)求的取值范围.  【题型八】直线参数方程标准型【典例分析】已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.（1）求实数的取值范围；（2）若，点，求的值.  【提分秘籍】基本规律  【变式演练】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点，求的值.   【题型九】直线参数方程范围最值【典例分析】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2θ）=8sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程．  【变式演练】在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)(1)若，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；(2)设点，曲线C与直线 交于A、B两点，求的最小值  【题型十】椭圆参数方程“参数点”型【典例分析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)设曲线经过伸缩变换后得到曲线，设为上任意一点， 求的最小值，并求相应的点的坐标.  【变式演练】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且直线与曲线C有两个不同的交点.（1）求实数a的取值范围；（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线垂直，求点M的直角坐标.【题型十一】椭圆参数方程范围最值型【典例分析】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（2）已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．  【变式演练】以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程与直线的普通方程；（2）设点过为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围.   【题型十二】抛物线参数方程【典例分析】在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．  【变式演练】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）若与交于，两点，求的值. 1．（2022·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． 2．（2022·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 3．（2021·全国·高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．  4．（2021·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．   5．（2020·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标．      1．在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；(2)若点分别是曲线和上的点，且，判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由. 2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 （为参数）.(1)写出曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于两点，定点，求的最小值. 3．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求直线和曲线的直角坐标方程；(2)从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值． 4．在直角坐标系中,直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为（其中为常数,且）.(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)直线与曲线交于两点,与轴交于点,若,求的值. 5．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点，．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若，求直线l的斜率． 6．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)求曲线的任意一点到曲线距离的最小值. 7．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若点为曲线C上的两点，且满足，求的最大值．