专题6-2 数列求和归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题6-2数列求和归类 目录一、热点题型归纳【题型一】等差等比数列求和【题型二】分组求和【题型三】倒序求和【题型四】错位相消求和【题型五】裂项相消常规型【题型六】分段求和【题型七】正负相间求和【题型八】 型裂项相消【题型九】型裂项相消【题型十】型裂项相消【题型十一】型裂项相消【题型十一】“分子分母有理化”型裂项【题型十二】型裂项相消二、真题再现三、模拟检测    【题型一】等差等比数列求和【典例分析】在等差数列中， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值.【全国百强校】甘肃省高台县第一中学高三考试数学（文）试题  【提分秘籍】等差等比求和公式：等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.等比：前n项和公式：Sn＝ 【变式演练】1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.（1）求；（2）求数列的前项和. 2.已知等差数列的公差不为零， ，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求．   【题型二】分组求和【典例分析】已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.  【提分秘籍】基本规律 分组求和法：1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【变式演练】1.已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.  2.已知正项数列满足：，，.（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（2）若，设，，求数列的前项和.   【题型三】倒序求和【典例分析】已知函数．（1）证明函数的图像关于点对称;（2）若，求；    【提分秘籍】基本规律倒序求和，多是具有中心对称的  【变式演练】1.设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；   2.已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm. 【题型四】错位相消求和【典例分析】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．  【提分秘籍】基本规律错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．   【变式演练】1.设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足， 求数列的前项和.  2.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.  【题型五】裂项相消常规型【典例分析】设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.   【提分秘籍】基本规律裂项相消法：常用的裂项公式有：①＝－；   ②＝；  ③＝－；④＝－；   ⑤＝×＝×[－]  【变式演练】1.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.  2.已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.   【题型六】分段求和【典例分析】已知数列的前项和为，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，设数列的前项和为，求.   【提分秘籍】基本规律分段数列求和：1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。2.要注意处理好奇偶数列对应的项：（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和  【变式演练】1.．设是等差数列，是等比数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列满足，设数列的前项和为，求. 2.已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，，设，求数列的前项和.  【题型七】正负相间求和【典例分析】设是数列的前n项和，已知，⑴求数列的通项公式；   ⑵设，求数列的前项和．   【提分秘籍】基本规律正负相间求和：1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 【变式演练】1.已知数列的前项和是，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前项的和.  2.已知等差数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和.  【题型八】 型裂项相消【典例分析】正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .  【提分秘籍】基本规律1.形如，可列为型。其中，分子a-b是隐藏比较深的分母相减结果，需要注意构造出这种形式。2.如果分子次幂比较高，可以先分离常数，再构造分母之差的形式。 【变式演练】1.数列满足，且.（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为.  2.等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，证明.  【题型九】型裂项相消【典例分析】在数列中，，，且对任意的N*，都有.（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.   【提分秘籍】基本规律形如指数型，其中f（n）可构造为，化为。注意构造过程中指数幂的运算。  【变式演练】1.．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.  2.在数列中，，，.（1）求的通项公式；（2），是数列的前项和，，求证：．  【题型十】型裂项相消【典例分析】．已知是公差不为零的等差数列的前项和，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.   【提分秘籍】基本规律形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。  【变式演练】1.已知数列{an}的中a1=1，a2=2，且满足.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn，记数列{bn}的前n项和为Tn，若|Tn+1|，求n的最小值.   2.已知数列的前项和为，，设.（1）证明：是等比数列；（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求取值范围.  【题型十一】型裂项相消【典例分析】已知正项数列的前项和为，且是4与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.   【提分秘籍】基本规律形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。注意构造过程中指数幂的运算。  【题型十一】“分子分母有理化”型裂项【典例分析】数列满足，.（1）求证:数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的前项和.    【提分秘籍】基本规律一般情况下，无理型 【变式演练】1.设{an}是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn， .（i）求Tn；（ii）求证：2.   2.已知数列的前项和满足，且.（1）求证：数列是常数数列；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 【题型十二】型裂项相消【典例分析】已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：．   【提分秘籍】基本规律形如型“等差指数幂”裂项型，分子可构造为，化为裂项求解。  【变式演练】1.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，，（1）求数列，的通项公式；（2）设，（i）求（ii）求．   2.已知为单调递增数列，为其前项和，(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若为数列的前项和，证明：.   1.（2017·全国·高考真题（理））等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（    ）A． B． C． D． 2.（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．3.（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 4.（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：． 5.（2021·全国·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.6.（2011·全国·高考真题（理））等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 7.（天津·高考真题（理））已知数列满足，且成等差数列.（Ⅰ）求的值和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和. 8.（江西·高考真题（理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn． 9.（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求. 10.（2020·全国·高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．  1.已知数列是等差数列，其前项和为，且,，设.（1）求；（2）求数列的前项和.  2.已知等差数列中，，，数列的前项和.（1）求，；（2）若，求的前项和.   3.设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．（1）求证：点的纵坐标为定值；（2）若求；  4.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.  5.在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．  6.已知为等差数列，为等比数列，的前n项和为，满足，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前n项和，求.  7.已知数列为等比数列， ，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.   8.已知数列满足，且当时，.（1）求证：数列是等差数列；（2）记，求数列的前项和.   9.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.  10.已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．  11.在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.（1）求数列通项公式；（2）数列的通项公式，，求数列的前项和. 12.数列是等比数列，公比大于0，前项和，是等差数列，已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式，；（Ⅱ）设的前项和为（ⅰ）求；（ⅱ）若，记，求的取值范围．