专题9-1 直线与方程题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题9-1 直线与方程题型归类

目录
【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围 3
【题型二】绕点旋转动直线 5
【题型三】含三角函数的圆切线型动直线 7
【题型四】含参双动直线 10
【题型五】关于直线对称 11
【题型六】直线光学性质 13
【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线 16
【题型八】平行线 17
【题型九】直线应用1：叠纸 19
【题型十】直线 应用2：直线与曲线交点 21
【题型十一】直线应用3：直线与函数（切线型） 23
【题型十二】直线应用4：距离公式 26
【题型十三】直线应用5：直线与方程 28
【题型十四】直线与最值 29
真题再现 31
模拟检测 35


综述
1.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用

3．几种距离公式
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝
4.两条直线的位置关系
(1)斜截式判断法：
①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：
(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：
①l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1； ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
5．直线系方程：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
6.直线的对称问题：
(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组；
(2)线关于线对称：①求交点； ②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点； ③两点定线即可.
(3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变.
(4）则对称直线必过圆心且与两点所在的弦中垂.
7.对称：
1.关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.


2点关于直线对称：
求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.

3.直线关于点对称：
（1方法一：可以取两个点，利用中点坐标公式求出对应点的坐标，再由两点求出直线方程）
（2）方法二：对称直线和原直线是互为平行线，且到点的距离相等，所以可以待定系数法，利用点到直线距离 公式求解（注意会有增根，增根对应的恰好是原直线方程）

4.对称技巧：
如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子

(1)如果关于直线的对称点为，则的坐标为；
(2)如果关于直线的对称点为，则的坐标为．




【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围
【典例分析】
设直线，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对与分两种情况讨论，当，直线方程化为，斜率，根据斜率的取值范围，求出倾斜角的取值范围；
【详解】直线l的方程为，当时直线方程为，倾斜角，
当时，直线方程化为，斜率，因为，
所以，即，又因为，所以
综上可得故选：C
【变式演练】
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由直线的方程为，所以，
即直线的斜率，由.所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B
2.已知点P为曲线上一动点，，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先讨论和两种情况，解出；进而讨论且时，利用直线的到角公式结合基本不等式即可求得.
【详解】根据曲线的对称性，不妨设，
若，则，，，所以；
若，则，，，所以；
若且，此时且，
，所以，
因为,所以，则，当且仅当时取“=”，而，所以.综上：的最大值为.故选：B.
【点睛】本题核心的地方在“”这一步，首先分式“”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“”这一步的拆分，三个式子一定要相同（），否则不能取得“=”.
3.已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再是以角为顶角的等腰三角形即可得必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系，可得和，可得答案.
【详解】由题中条件可知，，，，，∴四边形为正方形.又∵为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形，∴必为边的中点，则，，∴，由题易知，，；直线与轴垂直，则，∴.故选C.
【题型二】绕点旋转动直线
【典例分析】
已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.
【详解】将变形得，
所以是经过两直线和的交点的直线系.
设两直线的交点为，由得交点，
所以直线恒过定点，
于是点到直线的距离，
即点到直线的距离的最大值为.
故选：B.

【变式演练】
1.已知直线 则当m、n变化时，直线都通过定点
【答案】
【详解】
令 ，从而该直线必过定点.
2.下列对动直线的四种表述不正确的是（       ）
A．与曲线C：可能相离，相切，相交
B．恒过定点
C．时，直线斜率是0
D．时，直线的倾斜角是135°
【答案】A
【分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断CD.
【详解】直线可化为，
令，，解得，，
所以直线恒过定点，
而该定点在圆C：内部，
所以必与该圆相交．
当时，直线方程为，故斜率为0，
当时，直线方程为，故斜率为，倾斜角为135°.
故选：A
3.已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（       ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先由等差数列求得，再由求出定点坐标，代入直线得，由结合基本不等式即可求解.
【详解】易知，则，整理得，由解得，
则，则，即，又，则，
则，
当且仅当即时取等，故的最小值为.故选：B.

【题型三】含三角函数的圆切线型动直线
【典例分析】
设直线系，，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（       ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）       （4） D．（1）（2）
【答案】A
【解析】首先发现直线系表示圆的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点不在任何一条直线上，判断选项.
【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合.
（1）由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所有中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上，观察知点符合条件，故（2）正确；
（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正变形，其所有边均在的直线上，故（3）正确；
（4）如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如，一类是,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.

故选：A

【变式演练】
1.直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
【答案】或
【分析】应用辅助角公式可得且，根据正弦函数的性质有，易知其几何意义：直线系A是圆上所有点的切线集合，分析可知直线构成正三角形有无数个，但面积值只有两个；将圆心移至原点、取简化模型，设为，应用切线的性质及点线距离公式求参数b，进而求出正三角形的两个面积值.
【详解】直线系A：可变形为，
∴，而，
，即，其几何意义为圆外的点的集合，直线系是圆的切线的包络，即圆上所有点的切线集合，如图所示.

把圆心平移到原点，由过圆上一点的切线方程为.
而圆的参数形式为，，
令，则以为切点的切线方程为，即.
由圆心到切线的距离等于半径，有，即，
故当时，直线系是圆上所有点的切线方程系，也是圆的包络线.
显而易见，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个.

如取，如图所示，设直线的方程为.
圆心到直线的距离等于半径，则，
，则，
当，，，则.
当，，，则.
将圆向右平移3个单位即为，不改变正三角形的面积，直线系A中组成正三角形的面积：或.
故答案为：或
2.设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知可知，直线系都为以为圆心，以1为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个判断各命题的真假．
【详解】根据直线系（）得到，
所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．
对于①，可取圆心为，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；
对于②，可取圆心为，半径为的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；
对于③，可取圆心为，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；
对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；
对于⑤，存在不在中的任一条直线上，所以⑤错误；
对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在中的直线上，所以⑥正确；
对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；
故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．
故选：B．
3.已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（     ）
A．当时，中直线的斜率为
B．中所有直线均经过同一个定点
C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为
D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【答案】C
【分析】A中，当时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为；B中，S中所有直线均经过一个定点，不正确；C中，当m>n时，S中的两条平行直线间的距离为，可得最小值为2n；D中，由（0，0）不满足方程，可判断命题错误．
【详解】当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的方程为，即，故其斜率为，故A不正确；
根据y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；
当时，S中的两条平行直线间的距离为，而，则，故，即最小值为2n，C正确；
易见，点（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确；
故选：C.
【题型四】含参双动直线
【典例分析】
设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ）
A．4 B．10 C．5 D．
【答案】C
【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
因为，所以动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有，，
故（当且仅当时取“” ，
故选：C．
【变式演练】
1.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值.
故选：A.
2.过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为（       ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据直线斜截式方程和点斜式方程的特点求出、两点坐标，再判断两直线的位置关系，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】解：由，所以，
由，所以，
因为，所以这两条直线垂直，即，
所以三角形是直角三角形，
因此，
所以有，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为4，
故选：C.
3.设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（       ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.

【题型五】关于直线对称
【典例分析】
若曲线关于直线的对称曲线是，则的值为（       ）
A．2 B． C．1 D．不确定
【答案】C
【分析】本题首先可以在曲线上任取一点，然后设出点关于直线的对称点，再然后根据线段中点以及两条直线相互垂直的性质求出点坐标，最后将点坐标带入中即可得出结果.
【详解】在曲线上任取一点，
设点关于直线的对称点为，
则中点在直线上，即，
因为直线与直线垂直，所以，
联立，解得，，，
因为点Q在曲线上，所以，对一切恒成立，
故，，，故选：C.
【变式演练】
1.设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，结合题目条件可得答案．
【详解】因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，解得a＝1011，故选：A．
2.设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，结合题目条件可得答案．
【详解】因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，解得a＝1011，故选：A．
3.已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，故选：B.

【题型六】直线光学性质
【典例分析】
在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为__．
【答案】
【分析】如图，作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线于，交轴于，则的周长的最小值等于.
【详解】解：如图，作出关于直线的对称点，
作出关于轴的对称点，
连结，交直线于，交轴于，
，，
三角形的周长为线段的长，
由两点间线段最短得此时三角形的周长最小，
三角形的周长最小时，最小值为：．
故答案为：．


【变式演练】
1.已知等腰直角三角形三个顶点，和，P为的中点，一质点从点P出发，经，反射后又回到点P（如图），则的周长为（       ）

A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】先求出直线的方程，分别求出点关于直线，的对称点，由对称性可得答案.
【详解】由题意可知，，
记P关于对称的点为，设P关于对称的点为，
所以 ，解得，所以
由对称性知，，
所以，
易知当，Q，R，四点共线时，的值最小.
所以.
故选：C

2.已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（       ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】求折线段长度的最小值一般通过作对称点的方法解决，本题分别作关于的对称点，此时和分别交于，得到，此时的长即为所求最小值.
【详解】首先易得到方程为，关于即轴的对称点记做，显然，设关于的对称点为，于是，且中点在上，即，解得，即，此时和分别交于，此时的周长的最小，最小值为.若两点不这样取，例如如图所示取这样的，则的周长为折线段之和，即有.故选：A

3.如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为____________．

【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.

【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线
【典例分析】
已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（       ）
A． B． C．8 D．
【答案】C
【解析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.
【详解】直线的方程为，即.由解得.
设，直线的方程分别为 ，即
，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以
，，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得，解得（），所以.
所以到直线的距离为，而，所以.
故选：C

【变式演练】
1.若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x0，y0），AB的中点M为，根据解得答案.
【详解】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x0，y0），AB的中点M为 ，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
2.已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.
【答案】
【分析】设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.
【详解】因为中线CE所在直线方程为，所以可设，
由AC中点为，可得，所以，为等腰直角三角形，CE为中线，
,，①，又是的中点，,
,，化简得： ②，由①②解得，
所以点,又因为，所以直线方程为,
即所求方程为.故答案为：
3.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________.
【答案】3
【分析】根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可.
【详解】因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为，
可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为，
因为，，，
即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为，
所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.故答案为：3

【题型八】平行线
【典例分析】
若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．
【详解】因为，所以直线，间的距离．设直线m与直线，分别相交于点B，A，
则，过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，
则在中，，所以，又直线的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为或．故答案为：①⑤．

【变式演练】
1.若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】C
【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.故实数的取值最多有个.故选:C
2.已知直线；，若，都是正数，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合两直线垂直得到，结合均值不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.由解得所以当，时，取得最小值.故选：D.
3.设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（       ）
A．1， B．， C．， D．1，
【答案】C
【分析】利用韦达定理求出，由可求得，再由平行线间的距离公式得到，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值.
【详解】因为a，b是方程的两个实根，所以，，所以．
又，所以，所以．由于直线与直线平行，
所以它们之间的距离，所以，即所求距离的最大值和最小值分别为，．故选：C．

【题型九】直线应用1：叠纸
【典例分析】
折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段上，O点与上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解
【详解】如图，

要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点，作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合，
因为，所以，且.又当折叠后与重合时，，
所以 的取值范围是，故选：D
【变式演练】
1.将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D重合，则点D的坐标是________．
【答案】
【解析】根据垂直平分计算折线方程为，设，则，解得答案.
【详解】设折线方程为，，故，中点为，故.故.
设，则，解得，.故答案为：.
2.将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ）
A．1 B．2023 C．4043 D．4046
【答案】C
【分析】设，，进而根据题意得过点与点的直线与直线平行，再根据斜率公式计算求解即可.
【详解】解：设，，则所在直线的斜率为，
由题知过点与点的直线与直线平行，
所以，整理得 故选：C
3.已知一张纸上面有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为__________．
【答案】6
【分析】先用定义法求出折痕与的交点M的轨迹方程为：，再求出曲线C上点到圆心O的距离最大值，进而求出曲线C上的点到圆O上的点的最大距离.
【详解】以OA的中点G为坐标原点，OA所在直线为x轴，垂直OA为y轴建立平面直角坐标系，可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN⊥，连接MA，所以，所以，故所有折痕与的交点M的轨迹为以O，A为焦点，4为长轴的椭圆，故椭圆方程为：，设曲线C上点坐标为，则，当时，取得最大值，最大值为2，故曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为2+4=6.
故答案为：6
【题型十】直线 应用2：直线与曲线交点
【典例分析】
在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出函数图像，由图可知，直线，当时，由，解得其中一根，
当时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解.
【详解】解：当，当所以，画出图像：
设直线方程为：，当时，直线l与函数的图像的交点个数不可能是3个,故，依题意可知，关于x的方程有三个不等实根，当时，由，可解得，不妨令，当时，由可得，，
则关于x的方程（*）有两个不等负实根，则由韦达定理可得，，
依题意可知，则，
直线方程为：，故直线恒过定点，故选：A.
【变式演练】
1.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（       ）
A． B．或
C． D．
【答案】B【分析】首先根据题意得到曲线表示半圆，再结合图象即可得到直线与曲线有且仅有一个公共点时b的取值范围.
【详解】将方程变形为．当直线与曲线相切时，满足，
即，解得．由图可知，当或时，直线与曲线有且仅有一个公共点．故选：B.
2.曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果.
【详解】由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即.故选：A.
3.对于任意放置的椭圆，经过椭圆上的任意一点有且仅有一直线与该椭圆有一个交点，则称该直线为椭圆的切线.椭圆绕坐标原点逆时针旋转45°后得到的椭圆中最高点与原点的距离为_______.
上海市复兴高级中学2022届高三下学期4月自我定位检测数学试题
【答案】
【分析】旋转后椭圆中最高点与原点的距离即为旋转前切点到原点的距离，由旋转后椭圆的最高点的切线与轴平行，则旋转前直线的倾斜角为，可设旋转前直线的方程为，与椭圆方程联立，由，求出，从而可求得切点，从而可得出答案.
【详解】解：旋转后椭圆的最高点的切线与轴平行，则旋转前直线的倾斜角为，则可设旋转前直线的方程为，联立，消整理得，由，解得，
因为旋转后切点为最高点，所以，此时，即切点得坐标为，则该点到原点得距离为，即旋转后椭圆中最高点与原点的距离为.故答案为：.
【题型十一】直线应用3：直线与函数（切线型）
【典例分析】
已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________
【答案】
【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,
当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,
当时，＜2x≤1，所以f(x)=,
当时，＜2x≤，所以f(x)=,
当时，＜2x≤，所以f(x)=,

所以函数的图象为：其图象为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),
当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图象有三个不同的交点，
由题得.所以k的取值范围为.故答案为
【变式演练】
1.已知函数，若关于的方程有两个解，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】关于的方程有两个解，等价于和有两个交点，如图所示：作出函数的图象，，，，，由图可得时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程得：，由解得，切点坐标为和且，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足，综上可得，故选A.

2.已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】由分段函数解析式，结合导数研究的性质，再将问题转化为与有3个不同交点，应用数形结合的思想有与在上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或过时参数a的值，即可知的取值范围.
【详解】由题设，上，故值域为且单调递增；
上，故值域为且单调递减；
∴在上值域为且单调递减；在上值域为且单调递增；
要使与轴有3个不同的交点，即与有3个不同交点，它们的图象如下：
∴由图知：要使函数图象有3个交点，则与在上至少有2个交点，由，，则，此时，若与相切时，切点为，∴，可得，当过时，有，得，
∴.故答案为：
3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点
③若关于x的方程的实数根之和为8；
④函数的值域为.
其中所有正确答案的编号是______________.
【答案】①④
【分析】根据函数解析式和奇函数的性质画出函数图象，数形结合即可求出.
【详解】当，，
当时，，则，
当时，，，则，
…
结合是定义在R上的奇函数，可画出的函数图象如下：
由图可知，在上单调递增，故①正确；
函数的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；
由，可解得，根据奇函数的对称性，和对应的根分别对称，所以方程的实数根之和为0，故③错误；
由图可知，的值域为，故④正确.
故答案为：①④.
【题型十二】直线应用4：距离公式
【典例分析】
已知，则的最小值为（     ）
A． B．3
C． D．6
【答案】C
【解析】将问题转化为“点到点的距离加上点到点的距离加上点到点的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.
【详解】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，
表示点到点的距离，设，
则表示的长度和，
显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当均不在坐标原点，如下图所示：

考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为，
所以；
当其中一个在坐标原点，如下图所示：

此时分别有，，
所以；当都在坐标原点时，，
综上可知：的最小值为，故选：C.

【变式演练】
1.若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围.
【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，所以．故选：B
2.已知，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.
【详解】可看成点到点的距离的平方，
点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，

问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小.
注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称，
观察图象知点P到直线的距离最短，，
最短距离为，所以的最小值为.故选：C
3.已知，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为表分别表示点到的距离，点在直线和以及和四条直线围成的正方形内部，根据三角形两边之和大于第三边可知，当点为该正方形的中心时，四个距离之和最小，把代入原式计算可得最小值为，故选D.

【题型十三】直线应用5：直线与方程
【典例分析】
已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交点情况是（　　）
A．存在k，P1，P2使之无交点
B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点
C．无论k，P1，P2如何，总是无交点
D．无论k，P1，P2如何，总是唯一交点
【答案】D
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．
【详解】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，
∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，
，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：D．

【变式演练】
1.定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（       ）
A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交
【答案】D
【分析】根据有向距离的定义，分别对直线与直线l的位置关系进行判断.
【详解】由定义可知，若d1＝d2＝0，即点P1，P2到直线l的有向距离为0，则点P1，P2在直线l上，则可知A，B，C均不成立，
故选：D.
【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强.
2.若方程表示定直线 l ，为不在 l 上的定点，则方程一定是（       ）
A．过点M且与直线l相交的直线 B．过点M且与直线l平行的直线
C．过点M且与直线l垂直的直线 D．以上均不对
【答案】B
【分析】根据两直线的方程即得.
【详解】因为为不在 l 上的定点，
∴，又，方程表示定直线 l ，
所以方程一定是过点M且与直线 l 平行的直线.故选：B.
3.已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分倾斜角和两种情况讨论，利用点斜式即可求解.
【详解】解：当倾斜角时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，此时选项A，B，C没有意义，选项D符合题意；
当倾斜角时，直线l的斜率为，
所以由点斜式有直线l的方程为，即；
综上，直线l的方程为，故选：D.

【题型十四】直线与最值
【典例分析】
已知、，直线，，且，则的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由，可得，变形得，所以，化简后利用基本不等式求解即可
【详解】因为、，直线，，且，
所以，即，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D

【变式演练】
1.已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得坐标原点到直线距离，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】点到直线的距离为，由题意得坐标原点到直线距离，，所以，解得所以k的取值范围为.故选：C.
2.已知在平面直角坐标系中直线l恒过定点（2，1）.与x正半轴y正半轴分别相交A、B两点，O为坐标原点，则△周长的最小值是_____________.
【答案】10
【分析】设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值.
【详解】设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，其中a>0，b>0，
设，则。，
△周长=
，令，则△周长=
当且仅当，即时，周长取最小值10.故答案为：10
3.已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出点坐标，求得点坐标，求得的表达式，再求得其最小值.
【详解】设，则直线的方程为，由，
所以，设，
则表示直线上的点与连线的距离之和，
所以的最小值为.故选：C


1．直线关于点对称的直线方程是（    ）
A． B．
C． D．
2020年山东省春季高考数学真题
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
2．已知直线的图像如图所示，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2020年山东省春季高考数学真题
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
3．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ）
A． B． C． D．
2020年浙江省高考数学试卷
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
4．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．2
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
5．在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 发射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于

A． B．
C． D．
全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）
【答案】D
【分析】试题分析: 建立如图所示的坐标系，可得，故直线的方程为 ，
的重心为 ，设，其中 ，
则点关于直线 的对称点，满足，解得，即 ，
易得关于 轴的对称点，由光的反射原理可知 四点共线，直线的斜率为，故直线的方程为 ，由于直线过的重心），
代入化简可得，解得，或 （舍去），故，故．
故选D．
6．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A． B．
C． D．
2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）
【答案】C
【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

二、填空题
7．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
2022年新高考全国II卷数学真题
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：
8．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
2021年全国新高考II卷数学试题
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,所以，
所以，所以，
同理,所以.
故答案为：
9．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
2019年江苏省高考数学试卷
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，即切点，
则切点Q到直线的距离为，故答案为．
10．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）
【答案】
【详解】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想．
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
11．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_________
全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】
【详解】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为
12．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷）
【答案】5
【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】－1或
【详解】试题分析：设点，则
令
令
（1）当时，时取得最小值，，解得
（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值
，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.




1．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a范围.
【详解】令作出的图象如图所示：
等价于，表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由 可知当时，只有点满足，当时，只有点满足，当时，至少有，满足，不满足唯一整数点，故舍去，
当时，至少有满足，不满足唯一整数点，故舍去，
因为为整数，故可取故选：B

2．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．
【详解】设为在上的零点，则，所以，即点在直线，又表示点到原点距离的平方，则，即，
令，可得，因为，，
所以恒成立，可得在上为单调递增函数，所以当时，，
所以，即的最小值为．故选：B.
3．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
4．设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图，

而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，
于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”，
显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，，
所以二元函数的最小值为7.
故选：C
5．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】直线过定点，对于任意确定的点，当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，由上可知：当确定时，即为，且此时；又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，所以，故选：C.
6．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．无数
【答案】C
【分析】作出f（x）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a的范围．
【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：

表示点和点所在直线的斜率，即曲线上只有一个点且是整数和点所在直线的斜率大于零.如图所示，动点在直线上运动.因为,

当时，只有点这个点满足，当时，只有点这个点满足.
所以.所以满足条件的整数有4个.故选：C.
7．已知点，是曲线（为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组的解的情况，下列说法错误的是（    ）
A．当时，对任意的，方程组总是有解
B．当时，对任意的，方程组总是有解
C．当时，存在，使方程组有唯一解
D．当时，存在，使方程组有唯一解
【答案】A
【解析】对的解的情况，即考虑两条直线的斜率之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数，分类讨论验证即可.
【详解】由题知．对的解的情况，
即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数．
当时，存在使得图象，有两个交点，即，两条直线平行，即方程无解，故A选项错误；也存在，使得两图象没有交点，即无解，即两直线相交，方程组有唯一解，故选项C正确；
当时，图象有且仅有一个交点，故方程的解存在且唯一，不存在不同的点，使得无解，即两直线相交，方程组有唯一解B和D选项均正确，
故选：A．
8．设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点不在中的任一条直线上；
⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知可知，直线系都为以为圆心，以1为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个判断各命题的真假．
【详解】根据直线系（）得到，
所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．
对于①，可取圆心为，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；
对于②，可取圆心为，半径为的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；
对于③，可取圆心为，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；
对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；
对于⑤，存在不在中的任一条直线上，所以⑤错误；
对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在中的直线上，所以⑥正确；
对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；
故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．
故选：B．