13 圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系——【冲刺2023】高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版+解析版）

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易错分析
一、设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错
1．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.
【错解】设直线的方程为l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)
＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 答案：2 1
【错因】未考虑直线斜率不存在的情况，
【正解】由eq \f(p,2)＝1，得p＝2.
当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，
此时|AF|＝|BF|＝2，所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1；
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，
得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.
综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 答案：2 1
2．若直线l与椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
【错解】∵|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，∴eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则.
设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝6，,y＝kx＋m))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3 (*)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－6k2,1＋2k2)，
由eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋eq \f(m2－6k2,1＋2k2)＝0，
整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，即原点到直线l的距离为eq \r(2)，
∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切．
【错因】未考虑直线斜率不存在的情况，
【正解】证明：∵|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))|，∴eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则.
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入椭圆方程得y＝±eq \r(\f(6－t2,2))，
不妨令Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(\f(6－t2,2))))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\r(\f(6－t2,2))))，由eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0得t2－3＋eq \f(t2,2)＝0，
解得t＝±eq \r(2)，此时l：x＝±eq \r(2)，与圆x2＋y2＝2相切；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝6，,y＝kx＋m))得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3 (*)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－6k2,1＋2k2)，
由eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋eq \f(m2－6k2,1＋2k2)＝0，
整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，即原点到直线l的距离为eq \r(2)，
∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切．
二、当直线的斜率存在时忽略判断斜率是否为零致错
3．若过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，0))的直线l交椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1.于A，B两点，证明：eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)为定值．
【错解】设直线AB的方程为x＝ty－eq \f(\r(6),3)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty－\f(\r(6),3)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去x得(t2＋2)y2－eq \f(2\r(6)t,3)y－eq \f(4,3)＝0，则Δ＝eq \f(8,3)t2＋eq \f(16,3)(t2＋2)>0恒成立，由根与系数的关系，
得y1＋y2＝eq \f(2\r(6)t,3t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,3t2＋2)，所以eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝eq \f(1,1＋t2y\\al(2,1))＋eq \f(1,1＋t2y\\al(2,2))＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))
＝eq \f(y1＋y22－2y1y2,1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))＝eq \f(\f(8t2,3t2＋22)＋\f(8,3t2＋2),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(\f(16t2＋1,3t2＋22),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(16,3)×eq \f(9,16)＝3.
综上，eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝3为定值．
【错因】未考虑斜率为零的情况，
【正解】（1）当直线AB的斜率为零时，点A，B为椭圆长轴的端点，
则eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)＋\f(\r(6),3)))2)＋eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(\r(6),3)))2)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(\r(6),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－\f(\r(6),3)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,3)))2)＝eq \f(4＋\f(4,3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2)＝3；
当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为x＝ty－eq \f(\r(6),3)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty－\f(\r(6),3)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去x得(t2＋2)y2－eq \f(2\r(6)t,3)y－eq \f(4,3)＝0，则Δ＝eq \f(8,3)t2＋eq \f(16,3)(t2＋2)>0恒成立，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝eq \f(2\r(6)t,3t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,3t2＋2)，
所以eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝eq \f(1,1＋t2y\\al(2,1))＋eq \f(1,1＋t2y\\al(2,2))＝eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))＝eq \f(y1＋y22－2y1y2,1＋t2y\\al(2,1)y\\al(2,2))
＝eq \f(\f(8t2,3t2＋22)＋\f(8,3t2＋2),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(\f(16t2＋1,3t2＋22),1＋t2·\f(16,9t2＋22))＝eq \f(16,3)×eq \f(9,16)＝3.
综上，eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝3为定值．
三、忽略圆锥曲线几何性质致错
4．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3)
C．5 D．2eq \r(5)
【错解】选B 设P(x0，y0)，则由题意得eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，故xeq \\al(2,0)＝4(1－yeq \\al(2,0))，
所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)，
所以当y0＝－时，|PA|2取得最大值eq \f(76,3)，即|PA|的最大值为eq \f(\r(218),3) . 故选C.
【错因】忽略了椭圆中，本题中－1≤y0≤1，
【正解】选C 设P(x0，y0)，则由题意得eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，故xeq \\al(2,0)＝4(1－yeq \\al(2,0))，
所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)，
又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.
5．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则椭圆的长轴长为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(8\r(3),3)
【错解】选C 由焦点F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
作差得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0.(*)，因为直线l过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))及F(－2,0)，且AB的中点为M，
所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝eq \f(0－\f(1,2),－2－－1)＝eq \f(1,2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，代入(*)式，
得eq \f(b2,a2)＋eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)＋eq \f(1,－2)×eq \f(1,2)＝0，即b2＝eq \f(1,4)a2，
因为c2＋b2＝a2，c＝2，所以a＝eq \f(4\r(3),3)，故选C.
【错因】忽略椭圆的的长轴长的定义，椭圆的的长轴长为2a,而不是a.
【正解】选D 由焦点F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
作差得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0.(*)，因为直线l过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))及F(－2,0)，且AB的中点为M，
所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝eq \f(0－\f(1,2),－2－－1)＝eq \f(1,2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，代入(*)式，
得eq \f(b2,a2)＋eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2)＋eq \f(1,－2)×eq \f(1,2)＝0，即b2＝eq \f(1,4)a2，
因为c2＋b2＝a2，c＝2，所以a＝eq \f(4\r(3),3)，所以椭圆的长轴长为eq \f(8\r(3),3)，故选D.
6．已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝eq \f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________．
【错解】设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝eq \f(\r(2),4)x1，由|AB|＝2c，
可知|OA|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝c(O为坐标原点)，即eq \r(x\\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)x1))2)＝c，所以x1＝eq \f(2\r(2),3)c，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c，\f(c,3))).把点A的坐标代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)c))2,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，
整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(\r(3),2)或.
【错因】忽略了椭圆的离心率0＜e＜1，
【正解】设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝eq \f(\r(2),4)x1，由|AB|＝2c，
可知|OA|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝c(O为坐标原点)，即eq \r(x\\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)x1))2)＝c，所以x1＝eq \f(2\r(2),3)c，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c，\f(c,3))).把点A的坐标代入椭圆方程得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)c))2,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，
整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(\r(3),2). 答案：eq \f(\r(3),2)
7、若点F1，F2依次为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，
B2(0，b)．若双曲线C上存在点P，使得eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，则实数b的取值范围为_______．
【错解】设双曲线上的点P(x，y)满足eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，即x2＋y2＝b2－2，
又eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1⇒y2＝eq \f(b2,a2)x2－b2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b2,a2)))x2＝2b2－2，即eq \f(c2,a2)x2＝2b2－2，
∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥eq \f(\r(22),2)，
∴实数b的取值范围是。
【错因】忽略了双曲线中b【正解】设双曲线上的点P(x，y)满足eq \(B1P,\s\up7(―→))·eq \(B2P,\s\up7(―→))＝－2，即x2＋y2＝b2－2，
又eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1⇒y2＝eq \f(b2,a2)x2－b2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b2,a2)))x2＝2b2－2，即eq \f(c2,a2)x2＝2b2－2，
∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥eq \f(\r(22),2)，又b∴实数b的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(22),2)，3)).
8、已知点P是椭圆C: 上的动点,,求的最小值.
【错解】设,则
==,
所以.
【错因】忽略椭圆中.
【正解】设,则
==,因为,所以
当时时,
当时时,
当时时.
四、有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错
9．若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5,7)B．(5,6) C．(6,7) D．(5,6)∪(6,7)
【错解】选A 由题意可知，解得5＜k＜7.
【错因】未考虑椭圆方程中分母不等的情况，
【正解】选D 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－k＞0，,k－5＞0，,7－k≠k－5，))解得5＜k＜7且k≠6.
10．若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
【错解】选A 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0【错因】未考虑椭圆方程中分母不等的情况，
【正解】选D 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0五、求离心率考虑不全致错
11、若两数1､9的等差中项是a, 等比中项是b, 则曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．D．
【错解】D，由题意,,则曲线方程为,
该方程表示椭圆,其离心率为。
【错因】开方运算出错，开方时。
【正解】A，由题意,,
若,曲线方程为,表示椭圆,离心率为,
若时,曲线方程为,表示双曲线,离心率为．
12、双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|＝2|PF2|,
则双曲线离心率的取值范围为________．
【错解】如图,设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ<π),
由条件得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cs θ,
且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(m2＋2m2－4m2cs θ),m)＝eq \r(5－4cs θ).
又－1【错因】漏掉了P在x轴上的情况,即∠F1PF2＝π时的情况．
【正解】设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ≤π),
（1）当θ＝π，即点P在右顶点处时.e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(3m,m)＝3.
（2）当θ≠π,由条件,得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cs θ,且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(m2＋2m2－4m2cs θ),m)＝eq \r(5－4cs θ).又－1综上,e∈(1,3]．
六、求圆锥曲线的方程、离心率忽略焦点位置致错
13．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
【错解】选A 直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．
则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
【错因】未考虑抛物线的焦点在y轴上的情况，
【正解】选C 直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．
若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，则双曲线的离心率为__________．
【错解】设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意可得eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，b＝eq \r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝2； 答案：2
【错因】未对焦点位置分情况讨论，
【正解】若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，由题意可得eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，b＝eq \r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝2；
若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(a,b)x，由题意可得eq \f(a,b)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，a＝eq \r(3)b，可得c＝eq \f(2\r(3),3)a，则e＝eq \f(2\r(3),3).综上可得e＝2或e＝eq \f(2\r(3),3). 答案：2或eq \f(2\r(3),3)
15、若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为_______．
【错解】设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝eq \f(1,2)，此时x2＝eq \f(1,2)y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意． 答案：x2＝4y
【错因】未考虑抛物线的焦点在x轴上的情况，
【正解】（1）当抛物线的焦点在未考虑抛物线的焦点在x轴上的情况，轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，
若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝eq \f(1,2)，此时x2＝eq \f(1,2)y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意．
（2）当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，同理可求得当点(1,2)，(4,4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
答案：x2＝4y或y2＝4x
七、直线与圆锥曲线的位置关系忽略判别式致错
16．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,3，|BF|成等差数列，则k＝( )
A.eq \r(5)±1 B．1－eq \r(5) C．1±eq \r(5) D．1＋eq \r(5)
【错解】选C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故x1＋x2＝eq \f(4k＋2,k2).由|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋2，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋2，且|AF|,3，|BF|成等差数列，
得x1＋2＋x2＋2＝6，得x1＋x2＝2，所以eq \f(4k＋2,k2)＝2，解得k＝1±eq \r(5).
【错因】错解中没有考虑判别式，即没有保证直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，
【正解】选D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝eq \f(4k＋2,k2).
由|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋2，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋2，且|AF|,3，|BF|成等差数列，
得x1＋2＋x2＋2＝6，得x1＋x2＝2，所以eq \f(4k＋2,k2)＝2，解得k＝1±eq \r(5).又k＞－1，故k＝1＋eq \r(5).
17、已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q1,Q2两点,且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由．
【错解】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1， ①,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1. ②))
①－②化简得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2x1＋x2,y1＋y2).，∵中点B(1,1),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,∴k＝2.
∴满足题设的直线存在,且方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.
【错因】错解中没有考虑判别式，即没有判断直线2x－y－1＝0和双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1是否相交．
【正解】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1， ①,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1. ②))
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝eq \f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)．∵B(1,1)为Q1Q2的中点,∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2.
∴直线方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1))
消去y得2x2－4x＋3＝0. Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,∴所求直线不存在．
八、求轨迹方程对隐含条件挖掘不全致错
18．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1
【错解】选D，∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，
|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1
【错因】忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件。
【正解】选B ∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，
|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
19、若Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0), 则点C满足的方程为________.
【错解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,
如图,这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),
则半径为,即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】因为忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,即C点不能在直线AB上．
【正解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0),如图所示,则半径为,
即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上,因此y≠0,
也就是要除去两个点,即(－2,0),(4,0),因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(y≠0)．
20．已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))，直线PM，PN的斜率乘积为－eq \f(3,4)，P点的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为________.
【错解】设P点坐标为(x，y)，∵kPM·kPN＝－eq \f(3,4)，∴eq \f(y－\f(3,2),x－1)·eq \f(y＋\f(3,2),x＋1)＝－eq \f(3,4)，
∴4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))＋3(x－1)(x＋1)＝0，∴eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∴曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
【错因】忽略了直线PM，PN的斜率都存在这一隐含条件。
【正解】设P点坐标为(x，y)，∵kPM·kPN＝－eq \f(3,4)，∴eq \f(y－\f(3,2),x－1)·eq \f(y＋\f(3,2),x＋1)＝－eq \f(3,4)，
∴4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))＋3(x－1)(x＋1)＝0，∴eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∴曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±1)．
八、求离心率忽略开方致错
21．已知圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(4，＋∞)
C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
【错解】选B，由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，解得k＝±eq \r(3)，
因为圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，
所以eq \f(b,a)＞eq \r(3)，所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＞4.
【错因】求离心率时忘记开方，注意双曲线中，
【正解】选D由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，解得k＝±eq \r(3)，
因为圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，
所以eq \f(b,a)＞eq \r(3)，所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＞4，则，所以e＞2.
22．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
【错解】选D 设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)). 又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式作差，
代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故eq \f(2,3)<1－eq \f(b2,a2)<1，又e＝1－eq \f(b2,a2)，故选D。
【错因】求离心率时忘记开方，注意椭圆中，
【正解】选B 设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)). 又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式作差，
代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故eq \f(2,3)<1－eq \f(b2,a2)<1， 所以e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)).
九、使用圆锥曲线的定义忽略限制条件致错
23．已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
【错解】选A 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故点P的轨迹为双曲线的右支；
【错因】忽略了双曲线定义中2a＜|F1F2|这一条件。
【正解】选D 依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．
24、设定点F10,-3，F20,3，动点Px,y满足条件PF1+PF2=aa>0，则动点P的轨迹是
A. 椭圆B. 线段
C. 不存在D. 椭圆或线段或不存在
【错解】A，由题中坐标得到F1F2=6，又由于PF1+PF2=a，点P的轨迹为椭圆；
【错因】忽略了椭圆的定义中2a>|F1F2|这一条件。
【正解】由题中坐标得到F1F2=6，又由于PF1+PF2=a，当a=6时，点P的轨迹为线段；当a>6时，点P的轨迹为椭圆；当025、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【错解】x2－eq \f(y2,8)＝1，
如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,
|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|,
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1．
【错因】错误运用双曲线定义出错．本题中,|MC2|－|MC1|＝2,与双曲线定义相比,左边少了外层绝对值,因此只能是双曲线的一支．
【正解】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|,
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x<0)．
易错题通关
1、已知m∈R，命题p：方程x2m-2+y23-m=1表示椭圆，命题q：m2-5m+6<0，则命题p是命题q成立的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】命题p：“方程x2m-2+y23-m=1表示椭圆”，则m-2>03-m>0m-2≠3-m，解得22、设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A． 经过点B． 经过点
C． 平行于直线D． 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
3、已知点P在曲线C1：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8
C．10 D．12
【答案】C
【解析】由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.又|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.
4、设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3) ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3) ]∪[4，＋∞)
【答案】A
【解析】当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(3),\r(m))≥eq \r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq \f(a,b)≥tan 60°＝eq \r(3)，即eq \f(\r(m),\r(3))≥eq \r(3)，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．选A.
5．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，解得|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，
故|PF2|＝17，故选B.
6．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】 ∵m>n>0，∴00，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝eq \f(1,n)，该方程表示半径为 eq \r(\f(1,n))的圆，故B错误；∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± eq \r(－\f(m,n))x，故C正确；∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为ny2＝1⇒y＝± eq \r(\f(1,n))，该方程表示两条直线，故D正确．综上可知，正确的选项为A、C、D.
7．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．x2＝8y或x2＝－8y B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．y2＝8x
【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
8．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4eq \r(2)x
【答案】D
【解析】由已知可知双曲线的焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.故选D.
9．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
10．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
【答案】B
【解析】∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝eq \f(4,\r(m2＋n2)) ＞2，∴m2＋n2＜4.∴eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)＜eq \f(m2,9)＋eq \f(4－m2,4)＝1－eq \f(5,36)m2＜1，∴点(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点有2个．
11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足 ，则的离心率的取值范围是（ ）
A.B. C. D.
【答案】C
【解析】点坐标为，可以看成以为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点.
即至多一个解，消去x得
,即，,所以.
12．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭图
B．若t＜1．则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
【答案】BD
【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.
由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或，
对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确；
当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得，
所以D项正确；对于B中，当时， ，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的；对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.
13．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】根据题意得到双曲线的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.
对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；
对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；
对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.
14．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
15、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】C
【解析】由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(AM,\s\up7(―→))＝0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝0，解得y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.
16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(5)) B．(1，eq \r(5)]
C．(eq \r(5)，＋∞) D．[eq \r(5)，＋∞)
【答案】C
【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，则由题意得eq \f(b,a)>2，
所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
17．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为eq \f(3,2)
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq \f(5,32)
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
【答案】BCD
【解析】由题意得p＝eq \f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).对于A，|PF|＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，错误；对于B，kPF＝eq \f(4,3)，所以lPF：y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以y1＋y2＝eq \f(3,4)，y1y2＝－eq \f(1,4)，所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)× eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(5,32)，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k(1－k)＝0，即4k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，所以切线方程为x－2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，所以yM＋1＝eq \f(1,k)，即yM＝eq \f(1,k)－1，则xM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2，所以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2，\f(1,k)－1))，同理Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))2，－\f(1,k)－1))，所以kMN＝eq \f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)－1))2)＝eq \f(\f(2,k),\f(－4,k))＝－eq \f(1,2)，正确．故选B、C、D.
18．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．
【答案】y2＝16x或x2＝－8y
【解析】令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
19．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
【答案】(2,2)
【解析】过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
20．P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,81)＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
【答案】17
【解析】由题知a＝4，b＝9，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(97)，由于|PF1|＝921．平面内一点M到两定点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
【答案】线段F1F2
【解析】由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，但|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
22．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________．
【答案】y2＝－4x或x2＝－8y
【解析】当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)，故抛物线方程为y2＝－4x，当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)，故抛物线方程为x2＝－8y.
23．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为__________．
【答案】eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
【解析】由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c＝8，,\f(c,a)＝0.8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,c＝4，))又b2＝a2－c2，∴b2＝9.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
24．设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为_________．
【答案】eq \r(2)
【解析】设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2).由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2＝a2，故eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即e＝eq \r(2).
25.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．
【答案】eq \f(\r(34),3)
【解析】以花瓶最细处所在直线为x轴，花瓶的竖直对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意可知a＝8，图中的A点坐标为(10,10)．将a＝8，(10,10)代入双曲线方程，可得b＝eq \f(40,3)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，所以e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(34),3).
26、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________．
【答案】y=x-1或y=-x+1
【解析】由题意知，直线l过(1,0)．
当斜率不存在时，直线l为x=1，此时A(1,2)，B(1,-2)，AB=4，不满足题意．
当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx-1，Ax1,y1，Bx2,y2．
联立，得y=kx-1,y2=4x. 整理，得k2x2-2k2+4x+1=0．所以x1+x2=2k2+4k2．
又AB=x1+x2+p=8，所以2k2+4k2+2=8，解得k=±1，
所以直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．
27、若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为2，则双曲线C的离心率为 .
【答案】5
【解析】解：∵y2=4x的准线方程为l：x=-1，双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为：y=bax，y=-bax，双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线相交于A，B两点，
△AOB的面积为2，∴12×|-1|×|AB|=2，A(-1,-ba)，B(-1,ba)，∴ba=2，即b=2a，
∴c=a2+4a2=5a，∴e=ca=5．
28．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值为________．
【答案】4
【解析】由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以eq \(PF,\s\up7(―→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，则当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))取得最大值4.
29．定义椭圆的“蒙日圆”的方程为,已知椭圆的长轴长为,离心率为.
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）过“蒙日圆”上的任意一点作椭圆的一条切线,为切点,延长与“蒙日圆”点交于点,为坐标原点,若直线,的斜率存在,且分别设为,,证明：为定值.
解：（1）由题意知,,,，椭圆的方程,
“蒙日圆”的方程为,即
（2）当切线的斜率存在且不为零时,设切线的方程为,则
由,消去得
,
由,消去得
设,,则,
,
当切线的斜率不存在且为零时,成立,
为定值
30.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，右焦点F(1,0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，过F作两条互相垂直的弦AB，CD.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．
解：(1)由题意得c＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，∴a＝eq \r(2)，则b＝c＝1，则椭圆的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)①当两直线一条斜率不存在、一条斜率为0时，S＝eq \f(1,2)|AB|·|CD|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝2.②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将其代入椭圆方程整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－2,1＋2k2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(2\r(2)k2＋1,1＋2k2)，同理，|CD|＝eq \f(2\r(2)k2＋1,k2＋2)，则S＝eq \f(1,2)|AB|·|CD|＝eq \f(1,2)·eq \f(2\r(2)k2＋1,1＋2k2)·eq \f(2\r(2)k2＋1,k2＋2)＝eq \f(4k2＋12,2k4＋2＋5k2)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,k)))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,k)))2＋1)＝2－eq \f(2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,k)))2＋1)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，2))，当k＝±1时，S＝eq \f(16,9).综上所述，四边形面积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，2)).
31．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(2)，且经过A(0,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围．
解：(1)双曲线的离心率为eq \r(2)，即eq \f(c,a)＝eq \r(2)，因为点A(0,2)在双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1上，所以eq \f(4,a2)＝1，a＝2，则c＝2eq \r(2)，又c2＝a2＋b2，所以b＝2.所以双曲线C的方程为y2－x2＝4.
(2)易知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝my，,y2－x2＝4，))
得(1－m2)y2－4my－8＝0，设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m2≠0，,Δ＝16m2＋321－m2＝162－m2＞0，,y1＋y2＝\f(4m,1－m2)＜0，,y1y2＝\f(－8,1－m2)＞0，))解得1＜m＜eq \r(2).设点M的纵坐标为y0，则y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(2m,1－m2)，所以S△BOM＝eq \f(1,2)×|OB|×|y0|＝eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2m,1－m2)))＝eq \f(2m,m2－1)＝eq \f(2,m－\f(1,m))，
1＜m＜eq \r(2).易知函数y＝x－eq \f(1,x)在(1，eq \r(2))上单调递增，所以m－eq \f(1,m)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))，
所以三角形BOM面积的取值范围为(2eq \r(2)，＋∞)．
32．已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．
解：(1)∵双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点(2,1)，∴eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1.不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线
bx－ay＝0的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，∴b＝1，a2＝2，∴所求双曲线的方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)(y0>0)，则B(x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(x0－2，y0－1)，eq \(PB,\s\up7(―→))＝(x0－2，－y0－1)，∵eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝0，∴(x0－2)2－(y0－1)(y0＋1)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－4x0－y\\al(2,0)＋5＝0，,\f(x\\al(2,0),2)－y\\al(2,0)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝6，,y0＝\r(17))) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝1))(舍去)，即A(6，eq \r(17))，B(6，－eq \r(17))，此时点P到AB的距离为6－2＝4.当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.∴x1＋x2＝eq \f(－4km,2k2－1) ①，x1x2＝eq \f(2m2＋2,2k2－1) ②.∵eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，即(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0 ③.将①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.而P∉直线AB，∴m＝－6k－3，从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3.将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，得(1－2k2)x2＋(24k2＋12k)x－72k2－72k－20＝0，判别式Δ>0恒成立，∴y＝kx－6k－3即为所求直线．∴P到AB的距离d＝eq \f(|2k－6k－3－1|,\r(1＋k2))＝eq \f(4|k＋1|,\r(k2＋1)).∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,4)))2＝eq \f(k2＋1＋2k,k2＋1)＝1＋eq \f(2k,k2＋1)≤2，∴d≤4eq \r(2)，即此时点P到直线AB距离的最大值为4eq \r(2).∵4eq \r(2)>4，故点P到直线AB距离的最大值为4eq \r(2).