新高考数学三轮冲刺卷：直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：直线与圆锥曲线的位置关系（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有且只有一条，则点 可以是
A. B. C. D.

2. 过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有
A. 条B. 条C. 条D. 条

3. 已知对 ，直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

4. 函数 的图象与直线 相切，则
A. B. C. D.

5. 设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于 ，，则 与 的面积之比
A. B. C. D.

6. 已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线相交于点 ，则
A. B. C. D.

7. 已知抛物线 ，直线 与 相交于 ， 两点，与双曲线 的渐近线相交于 ， 两点，若线段 与 的中点相同，则双曲线 离心率为
A. B. C. D.

8. 过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 ， 两点， 为坐标原点．若 ，则 的面积为
A. B. C. D.

9. 已知抛物线 ，直线 （ 为常数）与抛物线交于 两个不同点，若在抛物线上存在一点 （不与 重合），满足 ，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.

10. 已知 是抛物线 的焦点，过焦点 的直线 交抛物线的准线于点 ，点 在抛物线上且 ，则直线 的斜率为
A. B. C. D.

11. 过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有
A. 条B. 条C. 条D. 条

12. 已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，点 ，，连接 ， 分别交抛物线 于点 ，，且 ，， 三点共线，则 的值为
A. B. C. D.

13. 已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则斜率 的取值范围是
A. B. C. D.

14. 已知椭圆 与直线 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 ，则椭圆 的方程为
A. B. C. D.

15. 已知 是双曲线 的左右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，若 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.

16. 已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 的准线上一点，（在第一象限）是直线 与 的一个交点，若 ，则 的长为
A. B. C. D.

17. 光线由点 射到直线 上，反射后过点 ，则反射光线所在的直线方程为
A. B. C. D.

18. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交 于 两点．若 的中点坐标为 ，则 的方程为
A. B. C. D.

19. 是抛物线 上任意一点，则当 和直线 上的点距离最小时， 与该抛物线的准线距离是
A. B. C. D.

20. 椭圆 内有一点 ，过点 的弦恰好以 为中点，那么这条弦所在直线的方程为
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若直线 与双曲线 的右支有两个不同的交点，则 的取值范围是 ．

22. 已知抛物线 ，直线 过点 且与抛物线只有一个公共点，则直线 的条数有 条．

23. 直线 与抛物线 的公共点坐标为 ．

24. 双曲线 的渐近线为正方形 的边 ， 所在的直线，点 为该双曲线的焦点．若正方形 的边长为 ，则 ．

25. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，则 的坐标为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 的重心恰为点 ，则直线 斜率为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知中心在坐标原点 的椭圆 经过点 ，且点 为其右焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在平行于 的直线 ，使得直线 与椭圆 有公共点，且直线 与 的距离等于 ?若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．

27. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）求 ， 的值；
（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线的另一交点为 ，点 在直线 上，若 ，， 的斜率分别为 ，，，且 ，求点 的坐标．

28. 椭圆 与直线 相交于两点 ，，且 （ 为原点）．
（1）求 的值；
（2）当椭圆离心率在 上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．

29. 已知椭圆 的左右焦点为 ，，离心率为 ，直线 与 轴、 轴分别交于 ，，点 是直线 与椭圆 的一个公共点，设 ．
（1）证明：；
（2）若 ， 的周长为 ，写出椭圆 的方程．

30. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，，右顶点为 ，上顶点为 ，已知 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点 的直线 与该圆相切．求直线 的斜率．
答案
1. A
2. C
3. C【解析】直线 过定点 ，于是只要点 不在椭圆 的外部即可，故 ．
又因为椭圆 中 ，所以 的取值范围是 ．
4. B【解析】由题意，得 有两个相等实根，得 ．
5. D
【解析】可设点 ，．由点 ，， 三点共线，可知 ．记抛物线准线为 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ，如图．
由抛物线定义知，．解得 ．
结合 ，知 ．所以
6. C
7. C
8. C【解析】提示：不妨设点 在第一象限，根据题意可得，点 ，．所以三角形 的面积为 ．
9. B【解析】满足 的 点都在圆 上，只需 与圆有除 、 外的交点即满足题意，联立两式有 ．当 时交点为 、 ．故另一根 必须大于或等于零．解得 ．
10. C
【解析】因为点 在抛物线 上，且 ，点 在抛物线的准线上，
由抛物线的定义可知， 直线 ，设 ，
则 ，解得 ，所以 ，故 ，
故 ，又 ，所以直线 的斜率为 ．
11. C【解析】当直线的斜率不存在，即过点 的直线方程为 时符合题意；当直线的斜率为 时，此时直线方程为 与抛物线仅有一个公共点；过点 可以做一条直线与抛物线相切；所以满足题意的直线有 条．
12. C【解析】如图，，．
则 ，联立 解得 ．
，联立 解得 ．
因为 ，， 三点共线，
所以 ，解得 ．
13. C
14. B
15. B
【解析】提示： 是锐角，．
16. B【解析】抛物线 的焦点 ，设 到准线 的距离为 ，则 ．
因为 ，
所以 ，
因为 （在第一象限）是直线 与 的一个交点，
所以直线的斜率为 ，
所以直线的方程为 ．
与 联立可得 （另一根舍去），
所以 ．
17. C
18. D【解析】容易求得直线的斜率为 ，设 ，，则 两式作差，整理后可得 ，代入中点坐标和斜率，可得 ，再由 可得，，．所以 的方程为 ．
19. B
20. B
【解析】经检验，当过点 的直线的斜率不存在时，不满足条件，所以过点 的直线的斜率存在，设斜率为 ，且设 ，，因为点 ， 在椭圆上，代入椭圆方程得 ，则 ，．所以所求直线方程为 ．
21.
【解析】将 代入 ，化简得 ，，又双曲线的渐近线的斜率为 ， 过定点 ．易得 ．
22.
23.
24.
【解析】不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 为正方形，，
所以 ，．
因为直线 是渐近线，方程为 ，
所以 ，即 ．
又因为 ，
所以 ．
25. ，
【解析】空 ：因为 右焦点为 ，
所以有 且 ，，，
而 ，所以 ，
因此椭圆上顶点的坐标为：；
空 ：设直线 的方程为：，
由（）可知：椭圆的标准方程为：，
直线方程与椭圆方程联立：
化简得：，
设 ，，线段 的中点为 ，
于是有：，，
所以 点坐标为：，
因为 的重心恰为点 ，所以有 ，
即 ，
因此有：
① ②得：，所以直线 斜率为 ．
26. （1） 依题意，可设椭圆 的方程为 ，且可知左焦点为 ，从而有
解得
又 ，所以
故椭圆 的方程为 ．
（2） 假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，由
得
因为直线 与椭圆有公共点，所以有
解得
另一方面，由直线 与 的距离等于 可得
解得
由于
所以符合题意的直线 不存在．
27. （1） 将点 代入 ，得 ．
将点 代入 ，得 ．
因为 ，
所以 ．
（2） 由题意知，点 的坐标为 ，直线 的方程为 ．
联立
解得 ，
所以 ，，代入 ，得 ，故直线 的方程为 ，联立
解得 ．
28. （1） 由 消去 得 .
设 ，，则
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
， .
所以 ，即 .
（2） 因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．又由（1）知 ， 得 ．
29. （1） 因为 ， 分别是直线 与 轴、 轴的交点，
所以 ，，
由 解得 ，这里 ．
所以 的坐标为 ，
由 ，
得 ，
即 解得 ．
（2） 当 时，，
所以 ，
由 的周长为 ，得 ，
所以 ，，，
所以所求椭圆方程为 ．
30. （1） 设椭圆的右焦点 的坐标为 ．由 ，可得
又 ，则
所以，椭圆的离心率
（2） 由（1）知
故椭圆方程为
设 ，由 ，有
由已知，有
即
又 ，故有
又因为点 在椭圆上，故
由①和②可得
而点 不是椭圆的顶点，故 ，代入①得 ，
即点 的坐标为 ，
设圆的圆心为 ，则
进而圆的半径
设直线 的斜率为 ，依题意，直线 的方程为 ．由 与圆相切，可得
即
整理得
解得
所以，直线 的斜率为 或 ．