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所属成套资源：【冲刺2023】高考数学考试易错题（全国通用）
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18 不等式选讲——【冲刺2023】高考数学考试易错题（全国专用）（原卷版+解析版）
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这是一份18 不等式选讲——【冲刺2023】高考数学考试易错题（全国专用）（原卷版+解析版），文件包含易错点18不等式选讲解析版docx、易错点18不等式选讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
易错点1.绝对值不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
易错点2.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b>0，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
易错点3.不等式证明
1．比较法
(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．
(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证eq \f(A,B)≥1.
2．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
易错点4.柯西不等式
1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．
3、柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则eq \r(x1－x22＋y1－y22)＋eq \r(x2－x32＋y2－y32)≥eq \r(x1－x32＋y1－y32).
4、柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
1．已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，即，又，所以．
所以．
因为，
所以．
故选：A．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，而，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．设，若的最大值是5，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【详解】当时，
，
所以是可能的，故B、C错误；
将点分别代入，
得，又，
因为的最大值为5，所以恒成立，
即，解得，
当时，，无解，故A错误，D正确.
故选：D.
4．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于，时等号成立.
所以恒成立，
即或，
解得，
所以的取值范围是.
故选：C
5．已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）解：当时，不等式，即，
所以或，
即得或，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）解：因为对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，即，即，
故只要且对任意的恒成立即可，
因为，，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
令，，
因为函数在上单调递增，
所以在上的单调递增，从而，
所以，，即实数的取值范围是
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2．已知，若对任意，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
3．已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)；
【答案】
（1）
证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
（2）
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
4．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
当且仅当时，取等号，所以.
（2）证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
所以.
5．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当时，．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解．
当时，
则，此时，由得，．
综上，a的取值范围为．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则．
一、单选题
1．如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，解得：，
所以成立的充分不必要条件是，
故是的真子集，
所以或，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为得，即，
所以.
所以不等式的解集为
故选：A
4．若正数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】不等式化为，
左边
，
所以，
实数的取值范围为.
故选：D
5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由柯西不等式可知：
所以，当且仅当即x＝时取等号，
故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，
故选A．
6．若存在实数，使得当时，都有，则实数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【详解】解：由各选项知最大值，
因为，解得，所以.
不等式可化为.
设，，
因为的最小值为3，
所以当时，都有.
若，；
若，，所以，解得.
综上，所求实数m的最大值为2.
故选：C.
7．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，当即时，取等号.
所以的最大值为.
故选：C.
8．设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由于，当足够大时，
总有，
由图像可知，此时与无关，
故当时，得，
由此排除B，C，D；
对于A：，
，
符合图象，
故选：A.
二、填空题
9．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．
【答案】##2.5
【详解】由题意，，又，
故，
故，
由向量模长的三角不等式，，
即，
解得：，则的最大值为.
故答案为：
10．在直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为.若A，B是椭圆上任意两点，则的最大值是___________
【答案】
【详解】法一：设，，由柯西不等式可知
.
法二：设，，则，.
，
所以，
则，
由柯西不等式可知，
所以，
所以，
的最大值是.
故答案为：
三、解答题
11．已知：，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)，若的图象与轴围成的三角形面积不大于54，求的取值范围．
【详解】（1）当时，
，
当时，成立；
当时，，则；
当时，不合题意，
综上，的解集为；
（2）因为，所以，
由，解得：，则，
当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
∴图象与轴围成的三角形面积为，
解得：，又，则，
∴的取值范围是.
12．已知均为正实数，且.
(1)求的最小值;
(2)证明: .
【答案】
（1）
由基本不等式可知，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以的最小值为 6 .
（2）
因为，所以.
.
同理可得，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以，
即
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
易错点1.绝对值不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
易错点2.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b>0，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
易错点3.不等式证明
1．比较法
(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．
(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证eq \f(A,B)≥1.
2．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
易错点4.柯西不等式
1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．
3、柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则eq \r(x1－x22＋y1－y22)＋eq \r(x2－x32＋y2－y32)≥eq \r(x1－x32＋y1－y32).
4、柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
1．已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，即，又，所以．
所以．
因为，
所以．
故选：A．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，而，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．设，若的最大值是5，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【详解】当时，
，
所以是可能的，故B、C错误；
将点分别代入，
得，又，
因为的最大值为5，所以恒成立，
即，解得，
当时，，无解，故A错误，D正确.
故选：D.
4．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于，时等号成立.
所以恒成立，
即或，
解得，
所以的取值范围是.
故选：C
5．已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）解：当时，不等式，即，
所以或，
即得或，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）解：因为对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，即，即，
故只要且对任意的恒成立即可，
因为，，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
令，，
因为函数在上单调递增，
所以在上的单调递增，从而，
所以，，即实数的取值范围是
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2．已知，若对任意，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
3．已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)；
【答案】
（1）
证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
（2）
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
4．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以.
[方法二]：基本不等式
由，，， ，
当且仅当时，取等号，所以.
（2）证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
所以.
5．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当时，．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上，的解集为．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，
,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当时，
则，此时，无解．
当时，
则，此时，由得，．
综上，a的取值范围为．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得后，构造两个函数和，
即和，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，
由图易知，则．
一、单选题
1．如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，解得：，
所以成立的充分不必要条件是，
故是的真子集，
所以或，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为得，即，
所以.
所以不等式的解集为
故选：A
4．若正数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】不等式化为，
左边
，
所以，
实数的取值范围为.
故选：D
5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由柯西不等式可知：
所以，当且仅当即x＝时取等号，
故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，
故选A．
6．若存在实数，使得当时，都有，则实数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【详解】解：由各选项知最大值，
因为，解得，所以.
不等式可化为.
设，，
因为的最小值为3，
所以当时，都有.
若，；
若，，所以，解得.
综上，所求实数m的最大值为2.
故选：C.
7．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，当即时，取等号.
所以的最大值为.
故选：C.
8．设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由于，当足够大时，
总有，
由图像可知，此时与无关，
故当时，得，
由此排除B，C，D；
对于A：，
，
符合图象，
故选：A.
二、填空题
9．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．
【答案】##2.5
【详解】由题意，，又，
故，
故，
由向量模长的三角不等式，，
即，
解得：，则的最大值为.
故答案为：
10．在直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为.若A，B是椭圆上任意两点，则的最大值是___________
【答案】
【详解】法一：设，，由柯西不等式可知
.
法二：设，，则，.
，
所以，
则，
由柯西不等式可知，
所以，
所以，
的最大值是.
故答案为：
三、解答题
11．已知：，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)，若的图象与轴围成的三角形面积不大于54，求的取值范围．
【详解】（1）当时，
，
当时，成立；
当时，，则；
当时，不合题意，
综上，的解集为；
（2）因为，所以，
由，解得：，则，
当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
∴图象与轴围成的三角形面积为，
解得：，又，则，
∴的取值范围是.
12．已知均为正实数，且.
(1)求的最小值;
(2)证明: .
【答案】
（1）
由基本不等式可知，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以的最小值为 6 .
（2）
因为，所以.
.
同理可得，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以，
即
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
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