必刷卷04——【高考三轮冲刺】2023年高考数学考前20天冲刺必刷卷（新高考地区专用）（原卷版+解析版）

绝密★启用前

2023年高考数学考前信息必刷卷04

新高考地区专用

预计新高考地区考试题型仍与2022年试卷结构相同，为8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题）。题型结构保持不变

同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，例如本卷填空压轴题，考查以侏罗纪蜘蛛网为背景的正方形环绕图，视觉上直冲数学对称美，本题难度较大。

另外解答题数列题采用探究式的方式考查了数列求和。采用错位相减法求形如等差等比数列的前项和；并探究采用裂项相消法求解等差等比数列的前项和。考查学生信息分析和提取能力，同时也更注重学生学科素养的能力，注重考查学生的思维能力和创造能力。

1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）设集合或，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题知，，

又或，

则，即.

故选：B

2．（2023·全国·模拟预测）若，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】解法一：因为，所以且，所以复数在复平面内对应的点在第四象限.

故选：D.

解法二：取，得，其在复平面内对应的点为，该点位于第四象限.

故选：D.

3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体的如图所示，

，

，

，

故选：C.

4．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题可知，图像过点，取，

对于A：；

对于B：；

对于C：；

对于D：；

故可排除B、D，又由图像可知，当时，，取，

对于A：；

对于C：；

可排除C，

故答案选：A.

5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，

因此直线的倾斜角的正切值为，即，

所以有，

设，由双曲线定义可知：，

由余弦定理可知：，

故选：B

6．（2023·河南南阳·统考二模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：，贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（    ）

A．第二天去甲影院的概率为0.44

B．第二天去乙影院的概率为0.44

C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为

D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为

【答案】D

【详解】设:第一天去甲影院，:第二天去甲影院，

:第一天去乙影院，:第二天去乙影院，

所以，，，

因为，

所以，

所以有,

因此选项A不正确；

，因此选项B不正确；

，所以选项C不正确；

，

所以选项D正确，

故选：D

7．（2023·山东潍坊·统考一模）单位圆上有两定点，及两动点，且.则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设中点为，中点为，则，.

由已知，可知，

所以，所以为等边三角形，所以.

同理可得，.

.

如图，当、方向相反时，有最大值为，

即的最大值是.

故选：A.

8．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数满足，，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，又，

表示点与曲线上的点之间的距离；

点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；

令，则，

令，即，解得：或（舍），

又，

的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.

故选：B.

9．（2023秋·湖北·高一校联考期末）设函数，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（    ）

A．4与3 B．5与3 C．6与4 D．8与4

【答案】BCD

【详解】令，，

∴，∴为奇函数，

设的最大值为t，最小值为，

∴，，可得，

∵，∴2b为偶数，

故选：BCD

10．（2023·广东湛江·统考一模）某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：

由表中数据制作成如下所示的散点图：

由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（    ）A．              B．

C． D．

【答案】AC

【详解】身高的平均数为，

因为离群点的横坐标168小于平均值，纵坐标89相对过大，

所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，

所以，，所以A正确，B错误；

去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，

所以，所以C正确，D错误．

故选：AC．

11．（2023·湖南张家界·统考二模）已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则

B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称

C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为

D．是的导函数，令.则在上的值域为

【答案】ABC

【详解】A选项，由，

故，必有一个最大值和一个最小值，

则为半个周期长度，正确；

B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；

C选项，，

在上有且仅在4个零点，

结合正弦函数的性质知：，

则，正确；

D选项，由题意，

则在时，，故值域为，错误.

故选：ABC.

12．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，过A，P两点的平面分别交棱，于点Q，R，则下列结论正确的是（    ）

A．不存在点Q，使得与AP所成角的余弦值为

B．的长度取值范围是

C．记四边形，，的面积分别为，，，则的最大值为

D．当平面经过点C时，几何体的体积为

【答案】BD

【详解】以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，则，

设点，，其中，，则，，，，

设，即，

即，可得，

对于A：

若存在点Q，使得与所成角的余弦值为，

则，

解得或（舍去），

当时，，

故存在点Q，使得与AP所成角的余弦值为，故A错误；

对于B：

因为，

所以，

所以，

所以，故B正确；

对于C：

点到直线的距离，

点到直线AP的距离，

因为，代入得，，

所以，

因为，所以，

故，

当且仅当，即时等号成立，此时，

故的最大值为，故C错误；

对于D：

因为平面平面，平面，平面，

所以，即点四点共面，且为的中点，

延长和交于点，如图，

因为，，且，，且平面平面，

所以，

所以为三棱锥，

又因为点平面，且平面平面，

所以几何体为三棱台，

因为，，

所以，故D正确，

故选：BD．

13．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在展开式中，含的项的系数是__________．

【答案】20

【详解】的展开式中的系数为，

的展开式中的系数为，

故在展开式中，含的项的系数为20．

故答案为：20

14．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，点O为坐标原点，点P是C的一条渐近线上的点，若，且，则m的值为______．

【答案】4

【详解】双曲线的右焦点，不妨令直线OP的方程为，

因为，则有，又,

因此，解得，

所以m的值为4.

故答案为：4

15．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域，在上单调递减，且对任意的，有，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【详解】令，得，令，得，

则，令，，得，

所以是偶函数，

因为在上单调递减，所以在上单调递增.

原不等式可化为.

因为，，且在上单调递增，

所以，

即，即.

设，

则，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，所以.

故答案为：

16．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为1，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：，）．

【答案】         

【详解】

因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，

且外围第一个正方形的边长为1，所以，,

由勾股定理有：，

设第个正方形的边长为，则

，，……，，

所以，

所以第7个正方形的周长是，

第n个正方形的面积为，

则第1个正方形的面积为，

则第2个正方形的面积为，

则第3个正方形的面积为，

……

则第n个正方形的面积为，

前n个正方形的面积之和为，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．

故答案为：，4.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（2023·广西南宁·统考一模）在中，角的对边分别为，已知，

(1)求；

(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由,

根据正弦定理可得，

所以，

由余弦定理可得，

，．

（2）由余弦定理，得，

即，

由正弦定理，得，

即，又，

所以

，

由为锐角三角形，故，解得，

所以，所以，

所以，所以．

（2023·全国·模拟预测）对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：

①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零

②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．

(1)请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和；

(2)请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为

所以①

则②

所以①-②得：

所以；

（2）因为，设

，

比较系数得：，得，所以，

（2023·河南·校联考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：，，，，，其中分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，，2，…，50，y与x的相关系数.

(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为.试判断与r的大小关系（不必说明理由）；

(2)求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）

附：线性回归方程中：.

【答案】(1)

(2)，估计B考生的物理成绩约为81.2分

【详解】（1）

理由如下：由图可知，与成正相关关系，

①异常点，会降低变量之间的线性相关程度，

②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，

③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，

④50个数据点更贴近其回归直线，

⑤52个数据点与其回归直线更离散．

（2）由题中数据可得：，

所以，所以，

，

所以，

将代入，得，

所以估计B考生的物理成绩约为81.2分.

（2023·全国·模拟预测）如图1，在梯形中，，，，，，线段的垂直平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，的位置，得到几何体，如图2所示．

(1)判断线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)存在，点为线段的中点

(2)．

【详解】（1）当点为线段的中点时，平面平面．

证明如下：由题易知，，，因为点为线段的中点，

所以，，所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面．

连接，因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面．

因为平面，平面，，

所以平面平面．

（2）因为，，

所以，所以，

又，，所以，，两两垂直．

故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

则，即，得，取，得．

设平面的法向量为，则，即，

取，得．

设平面与平面所成角为，

则，

所以，

所以平面与平面所成角的正弦值为．

（2023·四川成都·川大附中校考二模）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点Q为直线上一点，且Q不在x轴上，直线，与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，

则轴，又因为，，

所以，即，所以，

所以椭圆C的方程为.

（2）设，，

则：，：

联立，消去x得，解得，

同理，联立，消去x得，解得，

所以

.

令，

则

当且仅当，即，即时，取得最大值.

（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数，为函数的导函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若为的极值点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）设，则，

注意到，则有：

①当时，则，故对恒成立，故的单调递减区间为；

②当时，令，解得，

当时，；当时，；

故的单调递增区间为，单调递减区间；

综上所述：①当时，的单调递减区间为；

②当时，的单调递增区间为，单调递减区间.

（2）若有两个极值点，则有两个变号的零点，

由（1）可得：

设，则在上递减，且

可得：，则，即，解得，

即，解得，

当时，则有：

①先证：，

设，则

令，解得；令，解得，

所以在递减，在递增，所以，

故对恒成立，

，

当时，则，即，可得，

故在上存在唯一一个零点，即；

②再证：，

当时，即，可得，

则，

∵当时，则，即，

可得，

故；

综上所述：.

∴.