09 平面向量与复数——【冲刺2023】高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版+解析版）

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易错分析
一、利用an＝Sn－Sn－1求通项公式忽视n＝1致错
1、在数列中，（），求的通项公式．
【错解】由得，两式相减得，整理得，故是以，等比数列，即．
【错因】
【正解】
二、忽视在数列中n为正整数而致错
2．在数列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)中，若an＝0.08，则n＝( )
A.eq \f(5,2) B．8 C.eq \f(5,2)或10 D．10
【错解】由题意可得eq \f(n－2,n2)＝0.08，解得n＝10或n＝eq \f(5,2)．所以选C。
【错因】
【正解】
三、等比数列问题中忽视对公比的讨论致错
3．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则等比数列{an}的公比q的值为( )
A．1 B．1或eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
【错解】因为7S2＝4S4，所以3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，所以3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2.因为a1＋a2≠0，所以q2＝eq \f(3,4). 所以q＝±eq \f(\r(3),2).故选D.
【错因】
【正解】
4. 设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且.则____.
【错解】由题知，整理得：.
∴，故.
【错因】
【正解】
5、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4，设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【错解】由已知得，即，解得a1＝3，d＝－1，
所以an＝4－n， 则bn＝n·qn－1，
所以Sn＝1＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， qSn＝1·q＋2·q2＋3·q3＋…＋n·qn，
两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＋n·qn＝-n·qn.
所以Sn＝-.
【错因】
【正解】
四、使用错位相减法求和，两式相减时符号出错
6、设为数列的前n项和，已知，，．求数列的前n项和．
【错解】令，得，即．因为，所以．
令，得，解得．
当时，由，两式相减得，
即．于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此．
所以数列的通项公式为．则．
记数列的前n项和为，于是①
则．②
①－②得．
从而．
【错因】
【正解】
五、利用裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝eq \f(1,2)a12＋6，a2＝4，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))的前10项和为( )
A.eq \f(11,12) B．eq \f(10,11) C.eq \f(9,10) D.eq \f(8,9)
【错解】设等差数列{an}的公差为d，由a9＝eq \f(1,2)a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，所以a1＝2，d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
所以eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,S10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋＝1＝eq \f(9,10). 选C。
【错因】
【正解】
8．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2n－12n＋1)))的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn【错解】因为eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1)))，
所以Tn＝，
又因为12Tn【错因】
【正解】
六、对隐含条件挖掘不透彻致错
9．一个等差数列的首项为eq \f(1,25)，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(8,75)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，eq \f(3,25)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(8,75)，eq \f(3,25))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(8,75)，eq \f(3,25)))
【错解】由题意可得，即，解得，选A。
【错因】
【正解】
七、等差数列前n项的最值问题中忽视值为0的项
10．已知等差数列{an}的通项公式为an＝5n－105，当Sn取得最小值时，n等于( )
A．20 B．22 C．20或21 D．21
【错解】选D 令an＝5n－105＝0，得n＝21，即a21＝0，又当1≤n≤20时，an＜0，
故当n＝21时，Sn取得最小值．
【错因】
【正解】
八、忽视数列中奇数项或偶数项的符号
11、已知通项公式为，求的前n项和．
【错解】．
【错因】
【正解】
易错题通关
1．已知数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝( )
A．8 B．±8 C．－8 D．1
2. 已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )
A．1 B．－eq \f(1,2) C．1或－eq \f(1,2) D．－1或eq \f(1,2)
4. 设数列满足，求的前项和（ ）
A. B. C. D.
5. （ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，，，记数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
7．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·a6·a10＝3eq \r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，则taneq \f(b2＋b10,1－a3·a9)的值是( )
A．1 B．eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(2),2) D．－eq \r(3)
8．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米 C．199米 D．166米
9. 已知数列，，满足：，若是首项为2，公比为2的等比数列，，则数列的前项的和是（ ）
A. B.
C. D.
10．数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn(n≤2 020)，若数列{an}为递减数列，则t的取值范围是________．
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________.
12．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，已知eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n－2)(n∈N*)，则eq \f(a10,b3＋b17)＝______.
13．数列{an}满足eq \f(1,an＋2)＝eq \f(2,an＋1)－eq \f(1,an)，a1＝1，a5＝eq \f(1,9)，bn＝eq \f(2n,an)，则数列{bn}的前n项和为Sn＝________.
14. 已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝4n－3，则数列{an}的通项公式为________．
16. 若数列的前n项和，则其通项公式为_______．
17. 已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.
18. 已知数列的前n项和为，若，，则______．
19. 已知等比数列中，，，求和q．
20. 数列是首项的等比数列，且成等差数列，求数列的通项公式.
21. 已知数列的前项和，满足关系（，），求的通项公式．
22. 已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．若，且是等比数列，求k的值，并求．