08 三角函数与解三角形——【冲刺2023】高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版+解析版）

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三角函数与解三角形
求值忽视角的范围
含参问题忽视对参数的讨论
混淆三角函数图象平移规则致错
忽视三角函数的值域致错
复合函数忽视内函数自变量的符号
开方没考虑正负号
易错知识
1．对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围，
2．对于含有整数k的问题，要注意对k进行讨论，
3．三角函数图象左右平移是针对自变量x的，
4. 对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，
5. 对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，
6. 逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，
易错分析
一、忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cs α等于( )
A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
【错解】选D，因为，又sin α＝eq \f(5,13)，∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13).
【错因】
【正解】
2．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为________．
【错解】∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18)，∴(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
∴sin θ－cs θ＝eq \f(\r(2),3). 答案：eq \f(\r(2),3)
【错因】
【正解】
3．已知θ∈(0，π)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)，则sin θ＋cs θ＝________.
【错解】由题知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)⇒tan θ＝eq \f(1,7)，又因为θ∈(0，π)，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin θ,cs θ)＝\f(1,7)，,cs2θ＋sin2θ＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(2),10)，,cs θ＝\f(7\r(2),10)，))或，
所以sin θ＋cs θ＝eq \f(4\r(2),5)或 答案：eq \f(4\r(2),5)或
【错因】
【正解】
4．在△ABC中，若C＝3B，则eq \f(c,b)的取值范围为( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，3)
【错解】选A 由正弦定理可得，eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 3B,sin B)＝eq \f(sinB＋2B,sin B)＝eq \f(sin B·cs 2B＋cs B·sin 2B,sin B)
＝cs 2B＋2cs2B＝4cs2B－1.又0＜B＜180°，∴cs2B1，又eq \f(c,b)>0，∴0＜eq \f(c,b)＜3.
【错因】
【正解】
二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cs 8＋2)＝( )
A．4cs 4 B．－2sin 4－4cs 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cs 4
【错解】选D 原式＝2eq \r(1＋2sin 4cs 4)＋eq \r(4cs24)＝2eq \r(sin24＋cs24＋2sin 4cs 4)＋2cs 4
＝2sin 4＋2cs 4＋2cs 4=2sin 4＋4cs 4.
【错因】
【正解】
6．若eq \f(3π,2)<θA．sineq \f(θ,4) B．cseq \f(θ,4)
C．－sineq \f(θ,4) D．－cseq \f(θ,4)
【错解】选B 由二倍角公式得 eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs θ)＝ eq \r(\f(1＋cs θ,2))＝ eq \r(cs2\f(θ,2))＝cseq \f(θ,2)，
∴ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs θ))＝ ＝cseq \f(θ,4)
【错因】
【正解】
三、三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,3)个单位
【错解】选B 根据左加右减可知，为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位．
【错因】
【正解】
8．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，只需将y＝sineq \f(1,2)x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(4π,3)个单位 D．向右平移eq \f(4π,3)个单位
【错解】选A 因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝，故要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，只需将函数y＝sineq \f(1,2)x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位．
【错因】
【正解】
四、涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角．
【错解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α则eq \f(α,2)是第一象限角．答案：一
【错因】
【正解】
10．(忽视对k的讨论)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
【错解】A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2. 答案：{2}
【错因】
【正解】
五、含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α＝________.
【错解】易知OP＝eq \r(－4m2＋3m2)＝5m，则sin α＝，cs α＝.
故2sin α＋cs α＝eq \f(2,5). 答案：eq \f(2,5)
【错因】
【正解】
六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间为________．
【错解】要求f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间，只需令－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(π,6)－x≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
可得＋2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间为
＋2kπ，eq \f(2π,3)＋2kπ] (k∈Z). 答案：＋2kπ，eq \f(2π,3)＋2kπ] (k∈Z).
【错因】
【正解】
七、判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【错解】选A 因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B，解得A＝B，所以△ABC是等腰三角形．
【错因】
【正解】
八、忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－1))＋eq \r(9－x2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是____．
【错解】∵函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－1))＋eq \r(9－x2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1>0，,9－x2≥0，))∴，∴x∈，
∴函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为. 答案：
【错因】
【正解】
易错题通关
1．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
2．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－eq \f(3 \r(10),10)，则y＝( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
4. 已知θ是第三象限角，且cs(π＋θ)＝eq \f(1,3)，则tan θ＝( )
A.eq \f(\r(2),4) B．2
C．2eq \r(2) D.eq \r(10)
5．已知α终边与单位圆的交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3,5)))，且α是第二象限角，则eq \r(1－sin 2α)＋eq \r(2＋2cs 2α) 的值等于( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．3 D．－3
6．设α角属于第二象限，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cseq \f(α,2)，则eq \f(α,2)角属于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．已知sin α，cs α是方程x2－2kx＋k2＋k＝0的两根，则k的值为( )
A.eq \f(1±\r(3),2) B.eq \f(1－\r(3),2) C．1±eq \r(3) D．1＋eq \r(3)
若θ∈(0，π)，tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝6，则sin θ＋cs θ＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3)
C．±eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(2,3)
9．在△ABC中，cs A＝eq \f(5,13)，sin B＝eq \f(3,5)，则cs C的值为( )
A.eq \f(16,65) B．－eq \f(56,65) C．－eq \f(16,65) D.eq \f(16,65)或－eq \f(56,65)
10．已知cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)
11．已知φ∈R，则“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acs A＝bcs B，
且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
13．把函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，则m的最小值是( )
A.eq \f(7,24)π B.eq \f(17,24)π C.eq \f(5,24)π D.eq \f(19,24)π
14．已知ω>0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋eq \f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2)，π))上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)，eq \f(5,4) )) B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)，eq \f(3,4) )) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，eq \f(1,2))) D． (0,2]
15.已知函数y＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为( )
A．1，eq \f(π,3) B．1，－eq \f(π,3) C．2，－eq \f(π,3) D．2，eq \f(π,3)
16．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋eq \f(π,6))) (ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(π,3)))，并且f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](－eq \f(π,6)，eq \f(π,3))上不单调，则ω的最小值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
17．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2eq \r(3)，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( )
A．cs C＝eq \f(\r(3),3) B．sin B＝eq \f(\r(2),3) C．a＝3 D．S△ABC＝eq \r(2)
18.（多选题）如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
若0＜α＜eq \f(π,2)，－π＜β＜－eq \f(π,2)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝( )
A．－eq \f(5\r(3),9) B.eq \f(5\r(3),9) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
20．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
21．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为eq \f(π,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝－2，则φ＝________.
22．化简eq \f(sinnπ＋αcsnπ－α,cs[n＋1π－α])(n∈Z)的结果为________．
23．在锐角△ABC中，BC＝2，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD长的取值范围是________．
24.若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是________．
25．设f(x)＝mcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－eq \f(π,3)))＋m－1(m≠0)．
(1)若m＝2，求函数f(x)的零点；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](0，eq \f(π,2))时，－3≤f(x)≤4恒成立，求实数m的取值范围．