09 直线与圆——【冲刺2023】高考数学考试易错题（全国通用）（原卷版+解析版）

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易错点1： 直线的方程
若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。
易错点2：圆的方程
(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；
(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.
易错点3：直线与圆相离
直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.
易错点4：直线与圆相切
直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
易错点5：直线与圆相交
直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
1．已知，分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】为直径，，
点必在圆上，
由点向直线作垂线，垂足为，
当点恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，
此时圆直径为到直线的距离，
即半径，
所以圆的最小面积，
故选：C.
2．已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
3．已知圆经过点，半径为2，若圆上存在两点关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】设圆心的坐标为，则，
又圆上存在两点关于直线对称，则圆心必在直线上，
所以与有交点，则，解得，
故的最大值为.
故选：D
4．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【详解】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
5．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为
故选：B
1．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
2．直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【详解】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者
故选C．
3．过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于
A．B．-C． D-
【答案】B
【详解】画图可知过点（，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间，故选B.
考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查应用能力和计算能力.
4．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心坐标为M（1,3），半径为.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|＝.从而四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝××＝.故选B.
考点：圆的弦长及四边形的面积.
5．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径，
得，选择C
另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．
一、单选题
1．已知，分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】为直径，，
点必在圆上，
由点向直线作垂线，垂足为，
当点恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，
此时圆直径为到直线的距离，
即半径，
所以圆的最小面积，
故选：C.
2．若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（ ）
A．B．4C．D．－4
【答案】D
【详解】由题意得圆的圆心到直线的距离为
，
所以，所以，
所以
，
故选：D
3．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以切线长最小值为.
故选：B
4．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】， ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为： ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
5．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB的面积为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【详解】由已知，圆A的方程为，当最大时，
此时直线PB是圆的切线，即直线PB的方程为：或，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
故选：C．
6．当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】C
【详解】直线过定点，
圆的圆心为，半径，
当时，圆截直线所得的弦长最短，
由于，所以，即.
故选：C
7．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【详解】∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线，
切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，
所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离，
所以点P到直线的最短距离为，
故选：B
8．已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】设M是AB的中点，因为，所以，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，
，所以．
又，所以，
所以．
故选：C.
二、多选题
9．已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使D．存在点M，使为等边三角形
【答案】BD
【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=|-4|12+12=22>2=r，所以直线和圆相离，故A错误；
对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确；
对于C选项，当OM⊥l时，有最大值60°，故C错误；
对于D选项，当OM⊥l时，为等边三角形，故D正确.
故选：BD.
10．已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
三、解答题
11．已知的三个顶点分别为，，，求：
(1)AB边中线所在的直线方程；
(2)的外接圆的方程.
【答案】(1)；
(2).
（1）
设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：.
（2）
设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得：
，解得，
所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：.
12．圆的圆心为，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线：与圆交两点，且，求．
【答案】(1)
(2)或
（1）
解：因为圆的圆心为，且过点,
所以半径，
所以，圆的标准方程为
（2）
解：设圆心到直线的距离为，因为
所以，解得
所以，由圆心到直线距离公式可得．
解得或．