江苏省南京市玄武区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京市玄武区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共6小题，共12分）1.  一元二次方程的解是(    )A.  B.
C. ， D. ，2.  某位同学四次射击测试成绩单位：环分别为：，，，，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )A. 对称轴为直线 B. 最低点的坐标为
C. 与轴有两个公共点 D. 与轴交点坐标为4.  如图，是的直径，，是的切线，切点分别是，，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 5.  如图，在中，，连接，若，下列结论中，错误的是(    )A.
B.
C.
D. 6.  二次函数为常数，且，函数与自变量的部分对应值如表： 下列结论：；二次函数的图象与轴总有两个公共点；若，则二次函数图象顶点的纵坐标的最小值为；当自变量的值满足时，与其对应的函数值随的增大而增大，则，其中所有正确结论的序号是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本题共10小题，共20分）7.  已知，则______．8.  已知是线段的黄金分割点，，若，则______答案保留根号9.  如图，转盘中有个面积都相等的扇形，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为        ．
 10.  设，是方程的两个根，则的值是        ．11.  用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．12.  某公司一月份的产值为万元，二，三月份的产值总和为万元，设公司每月产值的平均增长率为，则可列方程为        ．13.  中，，，，则它的内切圆半径是______．14.  如图，正五边形内接于，是的直径，是上的一点不与点，重合，则的度数为       
 15.  如图，在▱中，以为直径作，经过点，且与交于点，连接并延长，与交于点，若是的中点，，则        ．
 16.  关于的方程为常数有两个不相等的正根，则的取值范围是        ．三、解答题（本题共11小题，共88分）17.  解下列方程：
；
．18.  某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加喜迎二十大奋进新征程演讲比赛，如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况：

根据以上信息，整理分析数据如下： 学生平均数分中位数分方差分甲乙        ，        ，        ；
根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由．19.  甲、乙、丙、丁四人进行传球训练，要求每人接球后随机传给其余三人中的一人开始由甲发球，随机传给其余三人中的一人，并记为第一次传球．
经过第一次传球，恰好传给乙的概率是        ；
经过第一次传球和第二次传球，求第二次恰好传给丙的概率．20.  二次函数的图象经过，．
求二次函数的表达式；
该二次函数图象与轴交于、两点，则的面积为        ；
将该二次函数图象向上平移        个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．21.  如图，在中，．
若，则的度数为        ；
若，，求的半径．
22.  如图，∽，是线段上一点．
求证∽；
求证．
23.  商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱元经市场调研，售价为元时，可销售箱；售价每提高元，销售量将减少箱当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是多少元？24.  如图，道路的正上方挂有一盏路灯，把路灯看成一个点光源，路灯到道路的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路散步，从处径直向前走到达处已知小女孩在处影子的长为，在处影子的长为，求小女孩的身高．
25.  已知二次函数为常数．
求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点；
求证：不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上．
已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是        ．26.  如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点，，的与相切于点，连接．
求证：平分；
若，，求的长．
27.  如图，在中，，，垂足为求证．
已知点在线段上在图中，用直尺和圆规作出所有的点，使得保留作图痕迹，不写作法
如图，在中，，点在边上，，连接若线段上存在点包含端点，使得，则的取值范围是        ．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
则，
，
，，
故选：．
利用直接开平方法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：这组数据的众数与平均数恰好相等，
众数为，
，
．
故选：．
先确定测试成绩的众数为，再根据算术平均数的定义计算即可．
本题考查了众数以及平均数，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴有两个公共点，顶点坐标为，则最低点的坐标为；其当时，，即与轴交点坐标为，
故选项A、说法错误，选项B、说法正确，
故选：．
根据二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 4.【答案】 【解析】解：连接，
，分别切于，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形的外角性质得到，由四边形内角和是，即可求出的度数．
本题考查切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质定理．
 5.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，故A、选项正确，不符合题意；
设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，
，，
，
，故C选项错误，符合题意；
，
，
，故D选项正确，不符合题意；
故选：．
易证明∽，根据相似三角形的性质即可判断、选项；设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，根据平行线的性质可得，以此即可判断选项；根据平行线的性质可得，以此即可判断选项．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．
 6.【答案】 【解析】解：把表格中数据代入解析式，得：
，
，得：，
解得，，
故正确；
，，
抛物线与轴有交点，
根据抛物线的对称性得二次函数的图象与轴总有两个公共点，
故正确；
若，则开口向下，抛物线有最大值，
故错误；
当自变量的值满足时，与其对应的函数值随的增大而增大，，
或，
或，
．
，
或．
故错误，
综上所述，正确，
故选：．
由表格可得抛物线经过，，代入即可得出，再根据抛物线的性质及交点问题依次判断即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
设，，
，
故答案为：．
利用设法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：指针指向的可能情况有种，而其中是奇数的有种，
“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为，
故答案为：．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 10.【答案】 【解析】解：设，是方程的两个根，
，



．
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系可知，然后将变形为，代入求值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据完全平方公式变形求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：扇形的弧长，
设圆锥的底面半径为，则，
所以．
故答案为：；
根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 12.【答案】 【解析】解：由题意得：；
故答案为：．
根据该公司月平均增长率为结合一月份的产值是万元，第二个月的产值是元，第三个月的产值是元，二，三月份的产值总和为万元，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，切于，切于，切于，连，，
，，
四边形为正方形，
，，，
，
设的半径为，则，
，，
，即，
．
故答案为．
切于，切于，切于，连，，根据切线的性质得到，，则四边形为正方形，得到，根据切线长定理得，，利用可求出．
本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
 14.【答案】或 【解析】解：连接，，
正五边形的五个顶点把圆五等分，
，
，
，
，
直径，
，
，
，
当在上时，连接，，，
，
，
，
当在上时，
由圆内接四边形的性质得．
的度数是或．
故答案为：或．
由正五边形的性质，圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质推出直径，从而求出的度数，分两种情况，即可解决问题．
本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质．
 15.【答案】 【解析】解：连接，，
四边形是平行四边形，
，，
是中点，
，
∽，
：：：，
，
是的直径，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
连接，，由圆周角定理得到，是直角，由∽，得到：：：，即可求出的长，由直角三角形的性质得到，由勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的正根，
，且，
解得：．
故答案为：．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，再根据两根之积大于，进而可以得到关于的不等式，解得即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
 17.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
．
，
，
或，
所以，． 【解析】先计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 18.【答案】     【解析】解：由题意，，
．
故答案为：，，；
从方差看，乙的成绩比较稳定，选乙比较合适．
根据平均数，中位数，方差的定义解决问题即可；
利用方差小成绩稳定判断即可．
本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，平均数，方差等知识，解题的关键是掌握中位数，平均数，方差的定义，属于中考常考题型．
 19.【答案】 【解析】解：经过第一次传球，恰好传给乙的概率是，
故答案为：；
如图所示：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中符合要求的结果有种，
第二次恰好传给丙的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式可得．
此题考查列树状图解决问题；根据相应规则列出示意图是解决本题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：依题意，得，解得，
所求二次函数的解析式为：；
令，则，
解得或，
，，
，
的面积为，
故答案为：；
，
开口向上，顶点为，
该二次函数图象向上平移个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．
故答案为：．
把两已知点的坐标代入，然后解关于、的方程组即可；
令，则，解方程求得、的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；
平移后所得抛物线恰好与坐标轴有两个公共点抛物线开口向上，即与轴有一个交点，顶点的纵坐标为．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确题意得到新抛物线的顶点纵坐标为是解决本题的关键．
 21.【答案】 【解析】解：在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
连接，延长交于，则，，
在直角中，由勾股定理，得；
在直角中，由勾股定理，得，
解得，即的半径是．
根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到，结合等腰三角形的性质解答；
连接，延长交于，则，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．
考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 22.【答案】证明：∽，
，．
，，
．
又，
∽；
∽，
．
∽，
．
，，
．
．
，
． 【解析】先利用相似三角形的性质说明，再利用“两边对应成比例夹角相等”说明两个三角形相似；
利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理先说明，再利用三角形的内角和定理得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握三角形的内角和定理、角的和差关系及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
 23.【答案】解：设每箱售价为元，销售总利润为元，
售价为元时，可销售箱；售价每提高元，销售量将减少箱，
销售量箱，


，
，图象开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
答：当每箱售价为元时，销售利润最大，最大为元． 【解析】先根据题意求出销售量，然后写出与之间的函数关系式，配成顶点式，即可求出利润的最大值．
本题考查的是二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数顶点式的配法．
 24.【答案】解：小女孩的身高：小女孩的影长路灯的高度：路灯的影长，
当小女孩在处时，∽，即：：，
当小女孩在处时，∽，即：：，
：：，
，
，
经检验：是原方程的根．
：：，
即：：，
解得：．
答：小女孩的身高为米． 【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键．
 25.【答案】 【解析】证明：

，
所以不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点；
证明：，
二次函数的顶点坐标为
当时，，
所以不论为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上；
为常数．
，
对称轴，
，在二次函数图象上，若，
．
故答案为：．
计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论；
利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
先计算出抛物线的对称轴．利用随增大而减小，得出．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 26.【答案】证明：连接，
切于，
半径，
，
，
，
，
平分；
解：连接，，
，
，
，
，
，
，
∽，
同理证明：∽，
：：，：：，
：：，
，
，
：：：，
设，
，
，
，
，
，或舍，
的长是． 【解析】连接，由切线的性质得到，由垂径定理得到，即可证明问题；
连接，，由圆周角定理，平行线的性质可以证明∽，∽，求出的长，列出关于的方程，即可求出长．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定方法．
 27.【答案】 【解析】证明：，，
，
，
∽，
，
；
如图，

作的垂直平分线，交于点，
以为圆心，为半径作，
在上截取，作的垂直平分线，交于，
以点为圆心，为半径作，
则点在是除直线与的两个交点外的上；
如图，

以为直径作，作交于，以为圆形，为半径作，
则点在上不包括点，
当点在点处时，
设，，
由射影定理得，
，，
，，
，
，
故答案为：．
证明∽，从而得出结论；
作的垂直平分线，交于点；以为圆心，为半径作；在上截取，作的垂直平分线，交于；以点为圆心，为半径作，可得点在是除直线与的两个交点外的上；
以为直径作，作交于，以为圆形，为半径作，则点在上不包括点，求出临界当点在点处时的结果：设，，根据射影定理可得，，进一步得出结果．
本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，尺规作图等知识，解决问题的关键是熟练掌握“射影定理”等知识．