2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷

1.  一元二次方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

2.  某位同学四次射击测试成绩单位：环分别为：9，9，x，8，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则x的值为(    )

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

3.  对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 对称轴为直线 B. 最低点的坐标为
C. 与x轴有两个公共点 D. 与y轴交点坐标为

4.  如图，AC是的直径，PA，PB是的切线，切点分别是A，B，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，连接CD，若，下列结论中，错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  二次函数为常数，且，函数y与自变量x的部分对应值如表：

下列结论：①；②二次函数的图象与x轴总有两个公共点；③若，则二次函数图象顶点的纵坐标的最小值为3；④当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y随x的增大而增大，则，其中所有正确结论的序号是(    )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①② D. ①③④

7.  已知，则______.

8.  已知B是线段AC的黄金分割点，，若，则______答案保留根号

9.  如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为______ .

10.  设，是方程的两个根，则的值是______ .

11.  用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______.

12.  某公司一月份的产值为200万元，二，三月份的产值总和为720万元，设公司每月产值的平均增长率为x，则可列方程为______ .

13.  中，，，，则它的内切圆半径是______.

14.  如图，正五边形ABCDE内接于，AF是的直径，P是上的一点不与点B，F重合，则的度数为______

15.  如图，在▱ABCD中，以CD为直径作，经过点A，且与BD交于点E，连接AE并延长，与BC交于点F，若F是BC的中点，，则______ .

16.  关于x的方程为常数有两个不相等的正根，则p的取值范围是______ .

17.  解下列方程：
；
 

18.  某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加《喜迎二十大奋进新征程》演讲比赛，如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况：

根据以上信息，整理分析数据如下：

______ ，______ ，______ ；
根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由.

19.  甲、乙、丙、丁四人进行传球训练，要求每人接球后随机传给其余三人中的一人.开始由甲发球，随机传给其余三人中的一人，并记为第一次传球.
经过第一次传球，恰好传给乙的概率是______ ；
经过第一次传球和第二次传球，求第二次恰好传给丙的概率.

20.  二次函数的图象经过，
求二次函数的表达式；
该二次函数图象与x轴交于C、D两点，则的面积为______ ；
将该二次函数图象向上平移______ 个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点.

21.  如图，在中，
若，则的度数为______ ；
若，，求的半径.

22.  如图，∽，D是线段BE上一点.
求证∽；
求证

23.  商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱40元.经市场调研，售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱.当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是多少元？

24.  如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离MN为，晚上，一名身高为AB的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走6m到达C处.已知小女孩在A处影子AE的长为2m，在C处影子CF的长为1m，求小女孩的身高.

25.  已知二次函数为常数
求证：不论m为何值该函数图象与x轴必有公共点；
求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上.
已知点，在二次函数图象上，若，则m的取值范围是______ .

26.  如图，在中，，E为AB上一点，作，与AC交于点F，经过点A，E，F的与BC相切于点D，连接
求证：AD平分；
若，，求CD的长.

27.  如图①，在中，，，垂足为求证
已知点C在线段AB上.在图②中，用直尺和圆规作出所有的点P，使得保留作图痕迹，不写作法
如图③，在中，，点D在边AB上，，连接若线段CD上存在点包含端点，使得，则的取值范围是______ .

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，
则，
，
，，
故选：
利用直接开平方法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：这组数据的众数与平均数恰好相等，
众数为9，
，

故选：
先确定测试成绩的众数为9，再根据算术平均数的定义计算x即可．
本题考查了众数以及平均数，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数是解题的关键．
 

3.【答案】BC 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，与x轴有两个公共点，顶点坐标为，则最低点的坐标为；其当时，，即与y轴交点坐标为，
故选项A、D说法错误，选项B、C说法正确，
故选：
根据二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

4.【答案】B 

【解析】解：连接OB，
，PA分别切于B，A，
，
，
，
，
，
，
，

故选：
由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形的外角性质得到，由四边形内角和是，即可求出的度数．
本题考查切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质定理．
 

5.【答案】C 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，故A、B选项正确，不符合题意；
设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为，点C到DE的距离为，
，，
，
，故C选项错误，符合题意；
，
，
，故D选项正确，不符合题意；
故选：
易证明∽，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为，点C到DE的距离为，根据平行线的性质可得，以此即可判断C选项；根据平行线的性质可得，以此即可判断D选项．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：把表格中数据代入解析式，得：
，
①-②，得：，
解得，，
故①正确；
，，
抛物线与x轴有交点，
根据抛物线的对称性得二次函数的图象与x轴总有两个公共点，
故②正确；
若，则开口向下，抛物线有最大值，
故③错误；
当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y随x的增大而增大，，
或，
或，

，
或
故④错误，
综上所述，①②正确，
故选：
由表格可得抛物线经过，，代入即可得出，再根据抛物线的性质及交点问题依次判断即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】4 

【解析】解：，
设，，
，
故答案为：
利用设k法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是线段AC的黄金分割点，，，
，
故答案为：
根据黄金分割的定义可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：指针指向的可能情况有6种，而其中是奇数的有3种，
“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为，
故答案为：
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

10.【答案】29 

【解析】解：设，是方程的两个根，
，




故答案为：
根据一元二次方程根与系数的关系可知，然后将变形为，代入求值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据完全平方公式变形求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

11.【答案】5 

【解析】解：扇形的弧长，
设圆锥的底面半径为R，则，
所以
故答案为：5；
根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：；
故答案为：
根据该公司月平均增长率为x结合一月份的产值是200万元，第二个月的产值是元，第三个月的产值是元，二，三月份的产值总和为720万元，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
 

13.【答案】2 

【解析】解：如图，切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，
，，
四边形CEOF为正方形，
，，，
，
设的半径为r，则，
，，
，即，

故答案为
切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，根据切线的性质得到，，则四边形CEOF为正方形，得到，根据切线长定理得，，利用可求出
本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
 

14.【答案】54或126 

【解析】解：连接OC，OD，
正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分，
，
，
，
，
直径，
，
，
，
当P在上时，连接OB，BP，FP，
，
，
，
当P在上时，
由圆内接四边形的性质得
的度数是或
故答案为：54或
由正五边形的性质，圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质推出直径，从而求出的度数，分两种情况，即可解决问题．
本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接AC，CE，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
是BC中点，
，
∽，
：：：2，
，
是的直径，
，
，，
，，
，

故答案为：
连接AC，CE，由圆周角定理得到，是直角，由∽，得到EF：：：2，即可求出EF的长，由直角三角形的性质得到，由勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
关于x的一元二次方程有两个不相等的正根，
，且，
解得：
故答案为：
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，再根据两根之积大于0，进而可以得到关于p的不等式，解得即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
 

17.【答案】解：，
，，，
，
，
，；

，
，
或，
所以， 

【解析】先计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意，，

故答案为：8，8，；
从方差看，乙的成绩比较稳定，选乙比较合适．
根据平均数，中位数，方差的定义解决问题即可；
利用方差小成绩稳定判断即可．
本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，平均数，方差等知识，解题的关键是掌握中位数，平均数，方差的定义，属于中考常考题型．
 

19.【答案】 

【解析】解：经过第一次传球，恰好传给乙的概率是，
故答案为：；
如图所示：

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，
第二次恰好传给丙的概率为
直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式可得．
此题考查列树状图解决问题；根据相应规则列出示意图是解决本题的关键．
 

20.【答案】6 4 

【解析】解：依题意，得，解得，
所求二次函数的解析式为：；
令，则，
解得或，
，，
，
的面积为，
故答案为：6；
，
开口向上，顶点为，
该二次函数图象向上平移4个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．
故答案为：
把两已知点的坐标代入，然后解关于b、c的方程组即可；
令，则，解方程求得C、D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；
平移后所得抛物线恰好与坐标轴有两个公共点抛物线开口向上，即与x轴有一个交点，顶点的纵坐标为
本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确题意得到新抛物线的顶点纵坐标为0是解决本题的关键．
 

21.【答案】65 

【解析】解：在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：65；
连接AO，延长AO交BC于D，则，，
在直角中，由勾股定理，得；
在直角中，由勾股定理，得，
解得，即的半径是
根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到，结合等腰三角形的性质解答；
连接AO，延长AO交BC于D，则，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．
考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

22.【答案】证明：∽，
，
，，

又，
∽；
∽，

∽，

，，


，
 

【解析】先利用相似三角形的性质说明，再利用“两边对应成比例夹角相等”说明两个三角形相似；
利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理先说明，再利用三角形的内角和定理得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握三角形的内角和定理、角的和差关系及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：设每箱售价为x元，销售总利润为w元，
售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱，
销售量箱，


，
，图象开口向下，
当时，w有最大值，最大值为1200，
答：当每箱售价为60元时，销售利润最大，最大为1200元． 

【解析】先根据题意求出销售量，然后写出w与x之间的函数关系式，配成顶点式，即可求出利润的最大值．
本题考查的是二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数顶点式的配法．
 

24.【答案】解：小女孩的身高：小女孩的影长=路灯的高度：路灯的影长，
当小女孩在AB处时，∽，即AB：：NE，
当小女孩在CD处时，∽，即CD：：NF，
：：NE，
，
，
经检验：是原方程的根．
：：NF，
即CD：：3，
解得：
答：小女孩的身高AB为米． 

【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】证明：

，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
证明：，
二次函数的顶点坐标为
当时，，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上；
为常数
，
对称轴，
，在二次函数图象上，若，

故答案为：
计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论；
利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
先计算出抛物线的对称轴．利用y随x增大而减小，得出
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

26.【答案】证明：连接OD，
切于D，
半径，
，
，
，
，
平分；
解：连接DE，DF，
，
，
，
，
，
，
∽，
同理证明：∽，
：：BD，CD：：CD，
：：BD，
，
，
：：：4，
设，
，
，
，
，
，或舍，
的长是 

【解析】连接OD，由切线的性质得到，由垂径定理得到，即可证明问题；
连接DE，DF，由圆周角定理，平行线的性质可以证明∽，∽，求出BD的长，列出关于CD的方程，即可求出DC长．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定方法．
 

27.【答案】 

【解析】证明：，，
，
，
∽，
，
；
如图1，

①作AB的垂直平分线，交AB于点O，
②以O为圆心，OA为半径作，
③在AB上截取，作BD的垂直平分线EF，交于E，
④以点B为圆心，BE为半径作，
则点P在是除直线AB与的两个交点外的上；
如图2，

以AB为直径作，作交于E，以B为圆形，BE为半径作，
则点C在上不包括点，
当点C在E点处时，
设，，
由射影定理得，
，，
，，
，
，
故答案为：
证明∽，从而得出结论；
作AB的垂直平分线，交AB于点O；以O为圆心，OA为半径作；在AB上截取，作BD的垂直平分线EF，交于E；以点B为圆心，BE为半径作，可得点P在是除直线AB与的两个交点外的上；
以AB为直径作，作交于E，以B为圆形，BE为半径作，则点C在上不包括点，求出临界当点C在E点处时的结果：设，，根据射影定理可得，，进一步得出结果．
本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，尺规作图等知识，解决问题的关键是熟练掌握“射影定理”等知识．