江苏省南京市玄武区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市玄武区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市玄武区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　）

A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF
3．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，13，15 C．7，14，25 D．8，12，20
5．如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
6．下列三角形中若AB＝AC，不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为　 　度．
8．角平分线上的点到　 　相等．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，∠1＝25°，则∠C＝　 　．

10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝10，S3＝25，则S2＝　 　．

11．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　 　．
12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为　 　cm．

13．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝15cm，则△DEC的周长是 　 　cm．

14．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　 　°．

15．一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角形的底角度数为 　 　．
16．已知∠AOB＝15°，M是边OA上的一个定点，且OM＝8，N、P分别是边OA、OB上的动点，则MP+PN的最小值是 　 　．

三、解答题（共68分）
17．如图，点C、F在BE上，BF＝CE，AC∥DF，∠A＝∠D，判断线段AB，DE的数量关系和位置关系，并说明理由．

18．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD．求证：BD＝CE．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求（1）MN的长度；（2）直接写出CN的长度．

20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边AB的中点．DE⊥AC．
求证：E是AC边的中点．

21．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D．作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接AD，证明AD⊥BC．

22．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．

23．如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求AD和BD的长．

24．如图，已知P是直线l外一点，用两种不同的方法求作一点Q，使得点Q到点P的距离和点Q到直线l的距离相等．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）


25．[问题提出]
学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究．
[初步思考]
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究．
[深入探究]
第一种情况：当AM、DN分别为边BC、EF上的中线时，

（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，
①若AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF．
②若BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF．
请在①和②中任选一个证明．
第二种情况：当CM、FN分别为边AB、DE上的中线时，
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圆规画出△ABC．
（3）如图③，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF．


参考答案
一、选择题（每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　）

A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF
【分析】判定△ABC≌△DEF已经具备的条件是∠E＝∠B，∠1＝∠2，再加上其中一角的对边对应相等，就可以利用AAS来判定三角形全等．
解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项不符合题意；
B、BC＝DE，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
C、AB＝EF，不是对应边相等，故本选项不符合题意；
D、∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
又∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定三角形的全等首先要找出已经具备哪些已知条件，即相等的边或相等的角，根据三角形的判定方法判定缺少哪些条件．
3．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为6，再根据垂线段最短解答．
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，
∴点P到OB的距离为6，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥6．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，13，15 C．7，14，25 D．8，12，20
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确；
B、52+132≠152，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、72+142≠252，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、82+122≠202，不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
5．如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
【分析】由“SAS”可证△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可证OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．
解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，
∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，
∴OA∥BD，
故选项A，B，都不符合题意，
∵OC＝BD，
∴OB＝BC+OC＝BC+DB，
∵OB＝AB，
∴CB+BD＝AB，
故C选项不符合题意，
∵若AB平分∠CAD，
∴∠OAC＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
∴C为AB的中点，
∵点C是OB上的动点，
∴AB平分∠CAD与题意不相符．
故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△AOC≌△ABD是本题的关键．
6．下列三角形中若AB＝AC，不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【分析】结合已知条件及等腰三角形的性质，对各个图形进行分析，从而得到答案．
解：（1）可解得两底角均为72°，可过点B作其角平分线，从而便可得到两个等腰三角形；
（2）可解得其两底角均为67.5°，不能被一条直线分成两个小等腰三角形；
（3）可解得其两底角均为45°，做顶角的角平分线，即可将其分为两个小等腰三角形；
（4）可解得其两底角均为36°，则可过顶点作一直线，使该直线将顶角分为一个36°和一个72°的角，从而便得到两个小等腰三角形；
所以只有（2）不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；理解如何把三角形分成两个小等腰三角形是解题的关键，解本题过程就是不断尝试的过程．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为　50　度．
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°﹣80°）＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
8．角平分线上的点到　角的两边距离　相等．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
解：角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角的两边距离．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，∠1＝25°，则∠C＝　65°　．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠1＝25°，AD⊥BC，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AB＝AC，点D为BC边的中点，
∴∠2＝∠1＝25°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝10，S3＝25，则S2＝　15　．

【分析】由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，得出S1+S2＝S3，得出S2＝S3﹣S1，即可得出结果．
解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3，
∴S2＝S3﹣S1＝25﹣10＝15；
故答案为：15．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解决问题的关键．
11．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　10　．
【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为　3　cm．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB＝NA，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB＝NA，
△BCN的周长＝BC+CN+BN＝7cm，
∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝15cm，则△DEC的周长是 　15　cm．

【分析】根据角平分线性质得出AD＝DE，根据勾股定理求出AB＝BE，求出AC＝BE，求出△DEC的周长＝BC，再求出答案即可．
解：∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，∠A＝90°，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEB＝90°，
由勾股定理得：AB2＝BD2﹣AD2，BE2＝BD2﹣DE2，
∴AB＝BE，
∵AB＝AC，
∴AC＝BE，
∵BC＝15cm，
∴△DEC的周长＝DE+DC+CE
＝AD+DC+CE
＝AC+CE
＝BE+CE
＝BC
＝15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
14．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　72　°．

【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案为72
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角形的底角度数为 　22°或68°　．
【分析】根据已知条件可分为等腰三角形的顶角为锐角和钝角两种情况进行解答：
（1）如图，等腰三角形为锐角三角形，易得∠ABD＝46°，结合三角形内角和定理和BD⊥AC可求得顶角的度数，进而可求得底角的度数；

（2）如图，等腰三角形为钝角三角形，结合三角形内角和定理可求出∠BAD，进而可求得顶角的度数，至此求得底角的度数．

解：（1）如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝46°，
∴∠A＝44°，
∴∠B＝（180°﹣44°）÷2＝68°．

（2）如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝46°，
∴∠BAD＝44°，
∴∠BAC＝136°，
∴∠C＝（180°﹣136°）÷2＝22°．

综上，这个等腰三角形的一个底角的度数是22°或68°．
故答案为：22°或68°．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的画出图形，认真的进行计算是解题的关键．
16．已知∠AOB＝15°，M是边OA上的一个定点，且OM＝8，N、P分别是边OA、OB上的动点，则MP+PN的最小值是 　4　．

【分析】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，得出∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，根据含30度角的直角三角形性质求出QN即可．
解：作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，

则∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，
∵QN＝OQ＝，
∴PM+PN＝PQ+PN＝QN＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置．
三、解答题（共68分）
17．如图，点C、F在BE上，BF＝CE，AC∥DF，∠A＝∠D，判断线段AB，DE的数量关系和位置关系，并说明理由．

【分析】由BF＝CE，得BC＝EF，由AC∥DF，得∠ACB＝∠DFE，可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△DEC，得AB＝DE，∠B＝∠E，则AB∥DE．
解：AB＝DE，AB∥DE，
理由：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AB＝DE，∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【点评】此题重点考查等式的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD．求证：BD＝CE．

【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C，由∠BAE＝∠CAD，得∠BAD＝∠CAE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BAD≌△CAE，得BD＝CE．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求（1）MN的长度；（2）直接写出CN的长度．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点M为BC的中点，
∴AM⊥BC，CM＝BC＝8（cm），
∴AM＝＝＝6（cm），
∵MN⊥AC，
∴S△AMC＝AM•CM＝AC•MN，
∴MN＝＝＝；
（2）∵MN⊥AC，
∴∠CNM＝90°，
∴CN＝＝＝，
故CN的长度为．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的公司，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边AB的中点．DE⊥AC．
求证：E是AC边的中点．

【分析】证DE是△ABC的中位线，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D是边AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC边的中点．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及平行线的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
21．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D．作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接AD，证明AD⊥BC．

【分析】（1）由BD＝CD，得∠DBC＝∠DCB，由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“HL”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得∠DBE＝∠DCF，再证明∠ABC＝∠ACB，所以AB＝AC；
（2）连接AD，由DE⊥AB，DF⊥AC，CE＝DF，证明AD是∠BAC的平分线，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明AD⊥BC．
【解答】（1）证明：∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠DBE＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DBE＝∠DCB+∠DCF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，CE＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC．

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识，证明Rt△BED≌Rt△CFD是解题的关键．
22．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
23．如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求AD和BD的长．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）设AD＝x米，则BD＝（26﹣x）米，CD＝BC+BD＝（32﹣x）米，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；
（2）解：设AD＝x米，则BD＝（26﹣x）米，
∴CD＝BC+BD＝6+26﹣x＝（32﹣x）（米），
在Rt△ACD中，由勾股定理得：82+（32﹣x）2＝x2，
解得：x＝17，
则26﹣x＝26﹣17＝9，
答：AD的长为17米，BD的长为9米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．如图，已知P是直线l外一点，用两种不同的方法求作一点Q，使得点Q到点P的距离和点Q到直线l的距离相等．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）


【分析】方法一：过P点作PA⊥直线l于A点，再作PA的垂直平分线，垂足为Q点；
方法二：在直线l上任意取点B，过B点作l的垂线BC，然后作PB的垂直平分线交BC于Q．
解：如图，点Q为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．
25．[问题提出]
学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究．
[初步思考]
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究．
[深入探究]
第一种情况：当AM、DN分别为边BC、EF上的中线时，

（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，
①若AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF．
②若BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF．
请在①和②中任选一个证明．
第二种情况：当CM、FN分别为边AB、DE上的中线时，
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圆规画出△ABC．
（3）如图③，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】（1）①由AM⊥BC，DN⊥EF，得∠AMB＝∠DNE＝90°，可证明Rt△ABM≌Rt△DEN，得BM＝EN，∠B＝∠E，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DEF；
②由AB＝AC，DE＝DF，AM、DN分别为边BC、EF上的中线，得∠AMB＝∠DNE＝90°，可证明△ABM≌△DEN，得AB＝DE，∠B＝∠E，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DEF；
（2）先以线段m、a、a为边作△ACM，再将AM延长到点B，使AB＝a，连接BC，即得到所求△ABC；
（3）作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，设AM＝BM＝a，则AB＝AC＝2a，根据勾股定理推导出AB2＝（2a）2＝4CM2﹣2BC2，同理DE2＝4FN2﹣2EF2，由CM＝FN，BC＝EF，得4CM2﹣2BC2＝4FN2﹣2EF2，所以AB＝DE，即可根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△DEF．
解：（1）①若AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF．
证明：如图①，∵AM、DN分别为边BC、EF上的中线
∴BM＝CM，EN＝FN，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴AM⊥BC，DN⊥EF，
∴∠AMB＝∠DNE＝90°，
在Rt△ABM和Rt△DEN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DEN（HL），
∴BM＝EN，∠B＝∠E，
∴2BM＝2EN，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
注：答案不唯一，
②若BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF．
证明：如图①，∵AM、DN分别为边BC、EF上的中线
∴BM＝CM＝BC，EN＝FN＝EF，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴AM⊥BC，DN⊥EF，
∴∠AMB＝∠DNE＝90°，
∵BC＝EF，
∴BC＝EF，
∴BM＝EM，
在△ABM和△DEN中，
，
∴△ABM≌△DEN（SAS），
∴AB＝DE，∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）如图②，作法：1．作线段a的垂直平分线交线段a于点P，得到线段a的中点P，
2．作线段CM＝m，
3．分别以点C、点M为圆心，以a、a为半径作弧，两弧交于点A，
4．作射线AM，并在射线AM上截取AB＝a，
5．连接AC、BC，
△ABC就是所求的三角形．
（3）如图③，作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，则∠AGC＝∠BGC＝∠EHF＝∠EHF＝90°，
设AM＝BM＝a，则AB＝AC＝2a，
∵AC2+BC2＝AG2+CG2+BG2+CG2，
∴（2a）2+BC2＝（a+MG）2+CG2+（a﹣MG）2+CG2＝2a2+2（MG2+CG2）＝2a2+2CM2，
∴2a2＝2CM2﹣BC2，
∴AB2＝（2a）2＝4CM2﹣2BC2，
同理DE2＝4FN2﹣2EF2，
∵CM＝FN，BC＝EF，
∴4CM2﹣2BC2＝4FN2﹣2EF2，
∴AB2＝DE2，
∴AB＝DE，
∵DE＝DF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．


【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理的应用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．