18.1 平行四边形-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

18.1 平行四边形

一、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“□”表示，平行四边形记作“ABCD”。

注：①平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

②相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条。

二、平行四边形的性质

1、边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2、角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3、对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4、平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。

注：①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系；

②利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系。

三、平行四边形的判定

1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形：

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

注：①平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理。也就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立；

②判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据。

四、三角形的中位线

1、概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；

2、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

注：①三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系；

②三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形。每个小三角开的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的；

③三角形的中位线不同于三角形的中线。

五、平行线间的距离

1、概念：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。

注：①距离是指垂线段的长度，是正值；

②任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度。两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。

2、平行四边形的面积：平行四边形的面积=底×高；等底等高的平行四边形面积相等。

题型一 平行四边形性质的理解

【例1】平行四边形的性质∶

①平行四边形的对边平行且____；

②平行四边形的邻角_____，对角_______；

③平行四边形的对角线互相____；

【变式1-1】下列命题是假命题的是（    ）

A．平行四边形的对边平行 B．平行四边形的对边相等

C．平行四边形的对角互补 D．平行四边形的对角线互相平分

【变式1-2】关于平行四边形，下列说法正确的是（　　）

A．既是轴对称图形，又是中心对称图形

B．是轴对称图形，但不是中心对称图形

C．不是轴对称图形，但是中心对称图形

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形

【变式1-3】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180°

【变式1-4】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ）

A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO

题型二 利用平行四边形的性质求值

【例2】已知一个平行四边形的两条对角线长是6cm和8cm，则下列线段长度可以是它的边长的是（    ）

A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm

【变式2-1】在中，可能是（    ）

A． B． C． D．

【变式2-2】如图，在等腰中，，顶点在平行四边形的边上，已知，则______．

【变式2-3】如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【变式2-4】如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ）

A． B． C． D．

题型三 利用平行四边形的性质求证

【例3】如图，在平行四边形中，E是边上一点，连接，若，求证：．

【变式3-1】如图，、是的对角线上的两点，．求证： 且．

【变式3-2】已知：如图在平行四边形中，点M在边上，且，、的延长线相交于点E，平分．求证：．

【变式3-3】如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：．

【变式3-4】如图，中，平分交于点，平分交于点．请你判断与的数量关系并证明．

题型四 判断能否构成平行四边形

【例4】在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB＝BC，CD＝DA B．ABCD，AD＝BC

C．ABCD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D

【变式4-1】不能判定一个四边形是平行四边形的是（  ）

A．一组对边平行且相等 B．两组对角相等

C．一组对边相等另一组对边平行 D．两组对边分别平行

【变式4-2】在四边形ABCD中，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需添加的条件是（    ）

A． B． 

C． D．

【变式4-3】已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（　）

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

【变式4-4】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ）

A．7个 B．8个 C．9个 D．11个

题型五 证明四边形是平行四边形

【例5】已知：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．

【变式5-1】如图，在中，，垂足分别为，四边形是平行四边形吗？为什么？

【变式5-2】如图，中，，点在上，过点作的平行线，与相交于点，点在上，．求证：四边形是平行四边形．

【变式5-3】如图，在四边形中，，，，．

（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；

（2）求四边形的面积．

【变式5-4】如图，如图，，过的中点O作直线交的延长线于E，交的延长线于F，求证：．

题型六 利用平行四边形的性质与判定求解

【例6】如图，平分，交于，于点，若，，则的长为__________．

【变式6-1】若四边形ABCD中，ADBC，CDAB，且∠C＝80°，则∠A等于（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°

【变式6-2】如图，在梯形中，，，周长为，，则该梯形的周长等于______．

【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中， 轴，，且，，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式6-4】如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为________．

题型七 与三角形中位线有关的计算

【例7】如图，是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，分别垂直于横梁，若，，则立柱的长为______．

【变式7-1】如图，点，，分别是各边的中点，连接，，若的周长为，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【变式7-2】如图，、是四边形两边，的中点，，是两条对角线，的中点，若，且，则以下说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【变式7-3】如图，矩形中，是的中点，点 在 边上运动，， 分别是 ， 的中点，则的长随着点的运动（    ）

A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定

【变式7-4】已知三角形三条中位线的比为，三角形的周长是，求三条中位线的长．

题型八 三角形中位线与面积问题

【例8】如图，是的中线，点是的中点，若的面积为24cm2，则的面积为（　　）

A．8cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2

【变式8-1】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于______．

【变式8-2】如图，三边的中线，，的公共点为G，且，若，则图中阴影部分的面积是_____．

【变式8-3】厨房角柜的台面是三角形（如图所示），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是___________．

【变式8-4】如图，在中，点、分别在边、上，为中点，，，，则的面积为______．

题型九 与三角形中位线有关的证明题

【例9】如图，在中，，点，，分别是，，的中点．求证：．

【变式9-1】如图，，，垂足为点，点是的中点．

求证：．

【变式9-2】如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.

（1）求证：；

（2）如果，求证：.

【变式9-3】BD平分∠ABC，求证：

（1）DE=BE；

（2）BD⊥AC．

【变式9-4】如图，AD＝BF，DE∥FG∥BC，MN是△ABC的中位线．求证：DE+FG＝2MN．

题型十 三角形中位线的实际应用

【例10】如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得点A、B分别是的中点，若测得，则A、B间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【变式10-1】如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（  ）

A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米

【变式10-2】如图，两点被一座山隔开，分别是中点，测量的长度为30米，那么的长度为_______米．

【变式10-3】如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是______．

【变式10-4】如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，测得DE的长度为380米，则A，B两地之间的距离是________米．