数学19.2.2 一次函数精品同步练习题

19.2 一次函数

一、正比例函数

1、概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做正比例函数，其中叫比例系数。

2、性质：

（1）正比例函数(是常数，)的图象是一条经过原点的直线，称为直线；

（2）当时，直线经过第一、第三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；（3）当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着的增大而减小。

3、图像：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数的图象。一般地，过原点和点(是常数，)的直线，即正比例函数的图象。

注：表示与是正比例函数关系的表述：①是的正比例函数；②(是常数，)；③若与成正比例；④ (是常数，)。

4、用待定系数法求正比例函数表达式

（1）待定系数法的概念：先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。其中未知系数也叫待定系数。

（2）由于正比例函数中只有一个待定系数，故只需一个条件（如一对，的值或一个点）就可求得的值。

二、一次函数

1、概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做一次函数。当时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2、性质：

（1）的正负决定直线的倾斜方向

①时，y的值随x值的增大而增大；②时，y的值随x值的增大而减小。

（2）大小决定直线的倾斜程度，即越大

①当时，直线与y轴交于正半轴上；

②当时，直线与y轴交于负半轴上；

③当时，直线经过原点，是正比例函数。

（3）由于的符号不同，直线所经过的象限也不同

①当，时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②当，时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③当，时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④当，时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）。

（4）决定直线与轴相交的锐角的大小。

相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此它们是平行的。从平移的角度也可以分析，例如：直线可以看作是正比例函数向上平移一个单位得到的。

3、图像：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。

注：选两点应以计算和描点简单为原则。画一次函数图象时我们只需描点和点或，连线即可。

4、用待定系数法求一次函数表达式

（1）由于一次函数中有两个待定系数、，需要两个独立的条件确定两个关于、的方程，求得、的值，这两个条件通常是两个点或两对，的值。

（2）用待定系数法确定一次函数表达式一般步骤

①设函数表达式为；

②将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

③求出与的值，得到函数表达式。

三、一次函数的图象的平移

一次函数向左平移个单位后的解析式为；

一次函数向右平移个单位后的解析式为；

一次函数向上平移个单位后的解析式为；

一次函数向上平移个单位后的解析式为。

平移规律：左加右减，上加下减

四、两直线间的位置关系

设直线

（1），与相交；（2），与平行；（3），与垂直。

补充：若直线经过，两点，则 .

题型一 正比例函数的概念的理解

【例1】下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　）

A．  B． C． D．

【变式1-1】下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积随半径的变化而变化．其中与的函数关系是正比例函数的是______（只需填写序号）．

【变式1-2】若函数是关于的正比例函数，则的值为________．

【变式1-3】已知y与x成正比例，且当时，，则y与x的函数表达式是______.

【变式1-4】若是正比例函数，则点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

题型二 正比例函数的图象

【例2】下列各点中，在直线上的点是（    ）

A．（3，3） B．（，） C．（3，） D．（，3）

【变式2-1】若正比例函数的图像经过点A(-1,4)，则的值为         .

【变式2-2】已知点在轴负半轴上，则函数的图象经过（    ）

A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限

【变式2-3】已知和均在正比例函数图像上，则的值为（　　）

A．6 B． C． D．

【变式2-4】正比例函数的图象经过，两点，则的值为（    ）

A．2 B． C．1 D．4

题型三 正比例函数的性质

【例3】关于函数，下列结论中，正确的是（   ）

A．函数图象经过点 B．随的增大而减小

C．函数图象经过一、三象限 D．不论为何值，总有

【变式3-1】已知点和在函数上，若，则与的关系是（    ）

A． B． C． D．

【变式3-2】已知在平面直角坐标系中，点是直线上的两点，则m，n的大小关系是m____________n．（填“”，“”或“”）

【变式3-3】已知正比例函数，当x每增加1时，y减少3，则__________．

【变式3-4】在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是_____．

题型四 一次函数的定义的理解

【例4】下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【变式4-1】点，是函数的图像上两点，若，则______．

【变式4-2】已知点在一次函数的图像上，则的值是___________．

【变式4-3】点在正比例函数的直线上，则_____．

【变式4-4】设函数．

（1）当m为何值时，它是一次函数；

（2）当m为何值时，它是正比例函数．

题型五 列一次函数解析式并求值

【例5】已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ）

A． B． C． D．

【变式5-1】某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______．

【变式5-2】已知y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值为__________．

【变式5-3】一次函数的图像过二、四象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为________．

【变式5-4】已知与成正比例，且当时，．

（1）求与之间的函数表达式；

（2）当时，求的值.

题型六 判断一次函数的图像

【例6】已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【变式6-1】已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（    ）

A． B． 

C． D．

【变式6-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，则该函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【变式6-3】点、是一次函数的图像上的两个点，若点在如图位置，则下列可能表示的点是（    ）

A． B． C． D．

【变式6-4】已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

题型七 一次函数图像所在象限与求参问题

【例7】已知y关于x的一次函数，则该函数图象不经过的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式7-1】在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大，则它的图象不经过（　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式7-2】对于函数的图象，下列结论错误的是（　　）

A．图象必经过点

B．图象经过第一、二、四象限

C．与轴的交点为

D．若两点，在该函数图象上，则

【变式7-3】一次函数的图象不经过第三象限，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【变式7-4】已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围___________．

题型八 一次函数图像与坐标轴的交点问题

【例8】函数的图象与轴．轴围成的三角形面积为______．

【变式8-1】已知直线与直线交于轴上一点，则直线与坐标轴围成的三角形面积为______．

【变式8-2】若一次函数（b为常数）的图象经过点，则该一次函数的图象与x轴交点的坐标为____________．

【变式8-3】直线在轴上的截距是______．

【变式8-4】直线与轴、y轴分别交于点A、B两点，则原点到直线的距离为___________．

题型九 画一次函数的图像

【例9】已知一次函数．

（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象；

（2）若图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求面积．

【变式9-1】已知一次函数的图象经过点．

（1）求k的值；

（2）请在图中画出该函数的图象；

（3）已知，P为图象上的动点，连接，则的最小值为______．

【变式9-2】已知一次函数，一次函数图象经过点．

（1）求的值；

（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象；

（3）当时，的取值范围为_____．

【变式9-3】已知y与成正比例，且当时，．

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

【变式9-4】在平面直角坐标系中（如图），已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，与x轴交于点B．

（1）求这个一次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出它的图像；

（2）求的面积．

题型十 一次函数图像平移问题

【例10】将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（    ）

A． B． C． D．

【变式10-1】将直线向下平移3个单位长度，得到的新直线的解析式为______．

【变式10-2】在平面直角坐标系中，将一次函数（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点，则k的值为（　　）

A．1 B． C． D．2

【变式10-3】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移4个单位长度后得到一个正比例函数的图象，若点在一次函数的图象上，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【变式10-4】如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

题型十一 一次函数的增减性与求参问题

【例11】一次函数的图象经过两个点和，则，的大小关系是（    ）

A． B．

C．当时， D．当时，

【变式11-1】已知点 ，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（  ）

A． B． C． D．无法确定

【变式11-2】已知一次函数，y随x的增大而增大，则a的值可以是（    ）

A． B． C．0 D．

【变式11-3】已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为(    )

A． B． C． D．无法确定

【变式11-4】如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．