中考数学专题几何三大变换之旋转

这是一份中考数学专题几何三大变换之旋转，共39页。
 几何三大变换之旋转旋转的性质 【例题讲解】例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则　　度．【解答】解：由图，，则度．故答案为：35． 例题2．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转角得到，设交于，连接，当旋转角度数为　　，是等腰三角形．【解答】解：绕点按逆时针方向旋转角得到，，，，是等腰三角形，，①，则，当，则，这不合题意舍去，②当，，，解得；③当，，，解得．故答案为或． 【旋转60°】得等边例题3. 如图，在直角坐标系中，点A在y轴上，△AOE是等边三角形，点P为x轴正半轴上任意一点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针60°得到线段AQ，连接QE并延长交x轴于点F.（1）问∠QFP角度是否发生变化，若不变，请说明理由；（2）若AO=，OP=x，请表示出点Q的坐标（用含x的代数式表示）【解答】（1）不变（2）
【旋转90°】构造全等例题4．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，且．连结，并以点为旋转中心把逆时针转后得线段．若点、恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于多少？【解答】解：过作轴，过作，，，，，在和中，，，，，，，则；与都在反比例图象上，得到，整理得：，即，△，，点为第一象限内一点，，，则．故答案为． 【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5．如图所示，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．（1）四边形是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（2）若四边形为矩形，请求出，应满足的关系式．【解答】解：（1）当，时，抛物线的解析式为：．令，得：．．令，得：．，，与关于点中心对称，抛物线的解析式为：；四边形是平行四边形．理由：连接，，，与、与都关于点中心对称，，，四边形是平行四边形．（2）令，得：．．令，得：，，，．要使平行四边形是矩形，必须满足，，，．，应满足关系式． 
例题6．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，与轴交于另一点．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，过点作轴于点，将绕平面内某点旋转后得（点，，分别与点，，对应），使点，在抛物线上，求点，的坐标．【解答】解：（1）抛物线过、，，．解得，，抛物线解析式．（2）如图2，由题意知，绕平面内某点旋转后得，设绕点旋转，联结，，，，，，四边形为平行四边形，且．、，设，则、在抛物线上，，，解得，．，． 【旋转过后落点问题】例题7．如图，中，已知，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么　　．【解答】解：当旋转后点的对应点落在边上，如图1，绕点逆时针旋转度得到△，，，，，即；当点的对应点落在边上，如图2，绕点逆时针旋转度得到△，，，，，，，，，即，综上所述，的值为或．故答案为或． 例题8．如图，在中，，点在上，且，，若将绕点顺时针旋转得到△，且落在的延长线上，连接交的延长线于点，则　　．【解答】解：过作于点，，，在中，，，在中：，，，，△是由旋转得到，，，，，，，在和中，，，，又（对顶角相等），，．故答案为：14． 例题9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，抛物线与轴交于点，直线交轴于，且与这两个三角形的面积之比为．（1）求点的坐标；（2）将绕点顺时针旋转一定角度后，点与重合，此时点的对应点恰好也在轴上，求抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图1，抛物线对称轴，当时，，过点作轴于，易知，，，，，，，；（2），，，，如图2，作于，于，则四边形是矩形，，，，由旋转知，，在中，，根据勾股定理得，， 
【旋转+“恰好”问题】例题10．如图，在直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点、分别在轴、轴上，且，，将绕原点顺时针转动一周，当与直线平行时点的坐标　     ．【另外再可思考，当“AB所在直线与MN垂直时点A的坐标”】 【解答】解：①，，，，，直线的解析式为，，，，，，，点的坐标为，；②图②中的点与图①中的点关于原点对称，点的坐标为：，，故答案为：，、，． 例题11．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，，以点为旋转中心，把顺时针旋转，得．记旋转角为．为．（Ⅰ）如图①，当旋转后点恰好落在边上时，求点的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足轴时，求与之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足时，求直线的解析式（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）点，，得，，在中，由勾股定理，得，根据题意，有．如图①，过点作轴于点，则，．有，得，，，点的坐标为，．（2）如图②，由已知，得，，，在中，，轴，得，，；（3）若顺时针旋转，如图，过点作于，过点作于，，，设，，则，在中，，，，，，直线的解析式为：，直线与直线垂直，且过点，设，把，代入得，，解得，互相垂直的两条直线的斜率的积等于，直线的解析式为．同理可得直线的另一个解析式为．  
【巩固练习】1．如图，在等边中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是　　．   2.如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第10段抛物线上，则的值为       .3．如图，中，，，，绕点顺时针旋转得△，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是　　． 4．如图，中，，，，绕点逆时针旋转到△处，此时线段与的交点为的中点，求线段的值       ．5．如图，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到．求的函数表达式． 6．如图，四边形是平行四边形，，，点在轴的负半轴上，将绕点逆时针旋转得到，经过点，点恰好落在轴的正半轴上，若点在反比例函数的图象上，则的值为　　．  7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点、．在四边形旋转过程中，若使？则点的坐标为             ．8．如图， 在中，，，点的坐标为，，将旋转到的位置， 点在上， 则旋转中心的坐标为　　   ．9．已知正方形的边长为5，在边上运动，的中点，绕顺时针旋转得，问　　时，、、在一条直线上． 10．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点在线段上，点的横坐标为，点在线段上，且，将绕点旋转后得到△．（1）若点恰好落在轴上，试求的值；（2）当时，若△被轴分得两部分图形的面积比为，求该一次函数的解析式．    11．在中，，，将绕点顺时针旋转，得到△．（1）如图①，当点在线段延长线上时．①求证：；②求△的面积；（2）如图②，点是边的中点，点为线段上的动点，在绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是，求线段长度的最大值与最小值的差．    
12．如图（1），在中，，，，动点在线段上以的速度从点运动到点，过点作于点，将绕的中点旋转得到△，设点的运动时间为．（1）当点落在边上时，求的值；（2）在动点从点运动到点过程中，当为何值时，△是以为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点与点同时出发，在线段上以的速度从点运动到点，过点作于点，将绕的中点旋转得到△，连结，当直线与的一边垂直时，求线段的长．    
13．如图，，，点为线段的中点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点．（1）若该抛物线经过原点，且，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点在抛物线上，且锐角，满足，求的取值范围．     
14．如图1，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将沿轴对折得到，再将绕平面内某点旋转后得△，，分别与点，，对应）使点、在抛物线上，求点、的坐标；
15．点为图①中抛物线为常数，上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点（点在点的上方），点为点旋转后的对应点．（1）若点的坐标为，求该抛物线的函数关系式；（2）如图②，若原抛物线恰好也经过点，点在第一象限内，是否存在这样的点使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/9/11 22:57:03；用户：临城
参考答案1.【解答】解：是等边三角形，，由逆时针旋旋转得出，，，，，，，是等边三角形，，的周长．故答案为：19．   2.【解答】解：令，则，解得，，，由图可知，抛物线在轴下方，相当于抛物线向右平移个单位，再沿轴翻折得到，抛物线的解析式为，在第10段抛物线上，．   3.【解答】解：，，，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，故答案为：．   4.【解答】解：，，，，绕顶点逆时针旋转到△处，，，点为的中点，，，过点作于，，解得，在中，，，，（等腰三角形三线合一），．     5.【解答】解：直线与轴交于点，与轴交于点，、，如图2，过点做交直线于点，过点作轴，在和中，，，，，点坐标为，设的解析式为，将，点坐标代入，得，解得，的函数表达式为；    6.【解答】解：如图所示：过点作轴于点，由题意可得：，，，则，故，，，，，．故答案为：．  7.【解答】解： 存在这样的点和点，使．理由如下：过点画于，连接，则，，，．设，，，如图4，当点在点左侧时，，在中，，解得，，（不符实际，舍去）．，，，如图5，当点在点右侧时，，．在中，，解得，，，，综上可知，存在点，，，使．    8.【解答】解： 如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于．点在上，点到、的距离相等， 都是，即，，，，，，，点的坐标是，，由勾股定理得，，旋转中心的坐标为，．故答案为：，．     9.【解答】解：过作，交延长线于点，连接，，，，，，的中点，绕顺时针旋转得，，，，．，当时，、、在一条直线上．则是等腰直角三角形，，，．时，、、在一条直线上．故答案为：．    10.【解答】解：（1）由题意，得，，如图，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，易知：，，，，，，；（2）由（1）得，当时，点在轴右侧；当时，点在轴左侧．①当时，设与轴交于点，连接，由△被轴分得两部分图形的面积比为，△△，，，，；②当时，同理可得：；综上所述，或．  11.【解答】解：（1）①证明：，，，，（旋转角相等），，；②过作于，过作于，如图①：，，，，，，，，，，，，，△的面积为：；（2）如图2，过作于，以为圆心为半径画圆交于，有最小值， 此时在中，，，的最小值为；如图，以为圆心为半径画圆交的延长线于，有最大值；此时，线段的最大值与最小值的差为．    12.【解答】解：（1）如图1，在中，，，，，当点落在边上时，由题意得，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，△，，即，解得：，当点落在边上时，；（2）当时，，解得：．，；当时，．（3）Ⅰ、当时，如图6，，，，，；Ⅱ、当时，如图7，，，，，；Ⅲ、当时，如图8，由（1）有，，；当时，，；当时，，；当时，，．   13.【解答】解：（1）过点作轴，垂足为．，．又，．由旋转的性质可知．在和中，．，．．把点和点的坐标代入得：，解得：，．抛物线的解析式为． （2）如图2所示：点，，为线段的中点，，．、两点的纵坐标为1，轴．．当时，恰好．设点的坐标为．当点在轴上且时，则，即，解得：或（舍去）．当点位于轴的下方，点处时，且时，则，即，解得：或（舍去）．为锐角，．由图形可知：当点在抛物线上与之间移动时，．的取值范围是：且．    14.【解答】解：（1），设，当时，，即，，抛物线经过点、解得：抛物线解析式为：（2）如图1，旋转后得到△的位置如图所示，，轴，轴设坐标为，则解得：坐标为，坐标为．    15.【解答】解：（1）对于，当时，，，点为点绕顶点逆时针旋转后的对应点，，，把，代入中，得，，该抛物线的函数关系式为；；（2）存在，点在第一象限内，，如图2中，由题意可知，，，点，点的对应点，，直线解析式为，线段的中垂线解析式为，由解得或，点在第一象限，点坐标，．