中考数学专题几何三大变换之翻折

这是一份中考数学专题几何三大变换之翻折，共36页。

如图，将△ABC沿着DE翻折，使得点A落在BC的点F处结论有：
①（即AD=DF，AE=EF，∠A=∠DFE，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED）
②DE垂直平分AF
函数的对称变换
①一次函数
关于x轴对称后的解析式：
关于y轴对称后的解析式：
②二次函数
关于x轴对称后的解析式：
关于y轴对称后的解析式：
【例题讲解】
例题1.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是______
解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故选：．
例题2.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为与边AD、BC交于点F、H，点C落在Q处，EQ与BC交于点G.
（1）尺规作图作出折痕FH；
（2）求折痕FH的长；
（3）求△EBG的周长；
（4）若将题目中的“点E为AB中点”改为“点E为AB上任意一点”，其它条件不变，则△EBG的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.
例题3、如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为 ．
解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质可知，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：4.8．
例题4.如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；
第一次折叠纸片使点与点重合，如图2，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点
重合，如图3，点落到处，折痕为，连接，则________．
解：如图2中，作于．设，则，
，，
，
在中，，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
如图3中，，，
，
，
，，
，
．
方法二，．
故答案为．
例5.如图，已知的三个顶点、、，，作关于直线的
对称图形
（1）若，试求四边形面积的最大值；
（2）若点恰好落在轴上，试求的值．
解：（1）如图1，
与四边形关于直线对称，
四边形是平行四边形，，，
，，
四边形、是平行四边形，
，
．
、、、，
，，
，
．
，当时，最大值为9；
（2）当点恰好落在轴上，如图2，
，，
，，
．
，
△，
，
，
．
由轴对称的性质可得．
在中，
，
整理得．
，，
．
例题6.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴的正半轴上，为边的中点，一抛物线经过点、
（1）求点、的坐标（用含的式子表示）；
（2）把沿直线折叠后点落在点处，连接并延长与线段的延长线交于点，
①若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
②若抛物线与线段相交，直接写出抛物线的顶点到达最高位置时的坐标：
解：（1）当时，，
，
当时，或
；
（2）①如图，设与轴交于点，过点作轴于点．
把沿直线折叠后点落在点处，
△，，，，，
矩形中，，
，
，
．
设，则，
在△中，，
，
解得，
，
，
，
点坐标为，，
易求直线的解析式为，
当时，，
点坐标为．
代入得（舍，，
抛物线的解析式为：．
②当时，，
即抛物线与直线的交点为，
抛物线与线段相交，
，
，
解得：，
，
当时，有最大值，
又，
当时，随的增大而增大，
当时，顶点到达最高位置，，
抛物线顶点到达最高位置时的坐标为，．
【巩固练习】
1、如图，在矩形中，点为边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的值为________.
2.如图，先将一平行四边形纸片沿，折叠，使点，，在同一直线上，再将折叠的纸片沿折叠，使落在上，则 度．
3、点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，长方形纸条的宽AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的最小值为_____________。
4.如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，
如图②，若图②中，则的度数为 （用含的代数式表示）．
5、在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．第一小组的同学将矩形纸片按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕（如图；再沿折叠，使点落在上的点处（如图，请求出的度数．
6.如图，在中，，，点是的中点，将沿着直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，那么的值为 ．
7、如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的解析式为 ．
8.如图①，点为一等腰直角三角形纸片的斜边的中点，是边上的一点，将这张纸片沿折成如图②，使与边相交于点，若图①中，则图②中的周长为 ．
9.如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ．
10.已知中，，，，是边上一点，交于点，将沿
翻折得到△，若△是直角三角形，则长为_________．
11.如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点
处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，
则线段的长为________
12、如图，中，，，，点是的中点， 将沿翻折得到，连，则线段的长等于_____
13.如图所示，四边形是矩形，点、的坐标分别为，，点是线段上的动点（与
端点、不重合），过点作直线交折线于点．
（1）记的面积为，求与的函数关系式；
（2）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试探究
与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
14.如图，将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线与此图象有两个公共点时，求的取值范围________．
15.如图1，在矩形中，，，点是边上的一个动点（不与点、点重合），点在边上，将和分别沿、折叠，使点与点重合，点与点重合，且、、三点共线．
（1）若点平分线段，则此时的长为多少？
（2）若线段与线段所在的平行直线之间的距离为2，则此时的长为多少？
（3）在“线段”、“线段”、“点”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
16．如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线对折，得到．
（1）当平分时，求的长；
（2）连接，当时，求的面积；
（3）当射线交线段于点时，求的最大值．
17．如图1，已知矩形纸片中，，若将该纸片沿着过点的直线折叠（折痕为，点恰好落在边的中点处．
（1）求矩形的边的长．
（2）若为边上的一个动点，折叠纸片，使得与重合，折痕为，其中在边上，在边上，如图2所示．设 ， ，试求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）①当折痕的端点在上时，求当为等腰三角形时的值；
②当折痕的端点在上时，设折叠后重叠部分的面积为，试求与之间的函数关系式．
18．如图， 已知矩形中，，，动点从点出发， 在边上以每秒 1 个单位的速度向点运动， 连接，作点关于直线的对称点，设点的运动时间为．
（1） 若，求当，，三点在同一直线上时对应的的值 ．
（2） 已知满足： 在动点从点到点的整个运动过程中， 有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于 3 ，求所有这样的的取值范围 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，翻折矩形，使点与点重合，得到折痕，设点的对应点为，折痕所在直线与轴相交于点，经过点，，的抛物线为．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）若点的坐标为，求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设线段的中点为，在线段上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参看答案
1.解：根据题意可得：在中：，，
则，
又，，
，
故．
故答案为：．
2.解：根据沿直线折叠的特点，△，△，
，，
，
，
点，，在同一直线上，
，
将折叠的纸片沿折叠，使落在上，
，
故答案为：45．
3.
4.解：，，
、△都为、、 的三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
5.解：如图2，连接，由题意得垂直平分，故，
由翻折可得，，
△为等边三角形，
，
，
；
6.解：是翻折而成，
，，
是等腰直角三角形，
，由三角形外角性质得，
，
设，，则，
，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，
，
故答案为：
7.解：法一：
当时，，即，
当时，，即，
所以，即，
因为点与关于对称，
所以的中点为，，即在直线上，
设直线的解析式为，把；，
代入可得．
法二：
直线与轴，轴分别交于点和，
，
设，则，
又
直线的解析式为
故答案为．
8.解：如图，作于，于，于，连接．
，，，
，，．
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长，
，
，
（解法二：连接，只要证明，即可推出的周长
故答案为．
9.解：如图1所示：当时，过点作，则．
当时，．
由，，得．
由翻折的性质，得．
，
，
，
当时，则（易知点在上且不与点、重合）．
如图2所示：
当时，
，，
点、在的垂直平分线上，
垂直平分，
由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去．
综上所述，的长为16或．
故答案为：16或．
10.解：在中，，，，
，
，
，即，
设，则，，，
在△中，，
△是直角三角形，
①当落在边上时，，，，；
②点在线段的延长线上，
解得（不合题意舍去），．
故长为或．
故答案为：或．
11.解：中，，，，
，
根据折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
△，
，
，
12.解： 如图连接交于，作于．
在中，，，
，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上 ．
，
点在的垂直平分线上，是直角三角形，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，，
13.解：（1）四边形是矩形，点、的坐标分别为，，
，
若直线经过点时，则
若直线经过点时，则
若直线经过点时，则
①若直线与折线的交点在上时，即，如图1，
此时
；
②若直线与折线的交点在上时，即，如图2
此时，，
，
；
（2）如图3，设与相交于点，与相交于点，则矩形与矩形的重叠部分的面积即为四边形的面积．
由题意知，，，
四边形为平行四边形
根据轴对称知，
又，
，
，
平行四边形为菱形．
过点作，垂足为，设菱形的边长为，
由题意知，，，
，，
，
则在中，由勾股定理知：，
，
．
矩形与矩形的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
14.. 解：二次函数与轴的交点坐标为，、，，
当直线与有一个公共点时，，△，解得，所以当时，直线与此图象有两个公共点时，
当直线经过点，与点，之间时，直线与此图象有两个公共点时，解得，
所以的取值范围为或．
故答案为或．
15.解：（1）由和分别沿、折叠，得到和，则，
，，，．
，
．
，
，
．
，
．
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）由题意，得或．
当时，
，，
．
，
，
，
．
当时，
，，
．
，
．
．
故的长为1或3．
（3）①若与点在同一直线上，如图2，连接，点在上，
在和中，
，
，
．
设，则，
在中，
，，
，
．
解得．
②若与在同一直线上，如图3，
，，
，
，
．
16.【解答】解：（1）由折叠性质得：，
，
平分，，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）延长交延长线于点，如图1所示：
四边形是矩形，
，
，
由折叠性质得：，
，，，
，
，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
，，
；
（3）过点作于点，如图2所示：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
可以看到点是在以为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线与圆相切时，最大，此时、、三点共线，如图3所示：
由折叠性质得：，
，
，
在和中，，
，
，
由勾股定理得：，
，
的最大值．
17.【解答】解：（1）根据题意得：，
四边形是矩形，
，，，
为的中点，
，
根据勾股定理得：，
；
（2）根据题意得：，在中，，
．
，
其中，；
（3）①当点在上，，
，而，．
为等腰三角形，只可能；
过点作于，如图3所示：
则，，
在中，．
．
解得：．
②当点在上时，在上；如图4所示：
根据题意得：垂直平分，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
折叠后重叠部分的面积的面积，
设，在中，，
．
解得：，
．
18.【解答】解： （1） 如图 1 中， 设． 则．
、、共线，
，
，
，
，
，
在中，，
，
或（舍 弃） ，
，
时，、、共线 ．
（2） 如图 2 中， 当点与重合时， 点在的下方， 点到的距离为 3 ．
作于，于． 则，
易证四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
， （当时， 直线上方还有一个点满足条件， 见图
如图 3 中， 当点与重合时， 点在的上方， 点到的距离为 3 ．
作于，延长交于． 则，
在中，，
由，
，
，
，
综上所述， 在动点从点到点的整个运动过程中， 有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于 3 ，这样的的取值范围．
19.【解答】解：（1）根据折叠的性质得：，，，，，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
点的坐标为：，；
（2）方法一：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，，，
作于，如图1所示：
则，
，
，
，
即，
，，，
，，
把点，，，，代入得：，
解得：，，，
抛物线的解析式为：；
（3）存在；点的坐标为：，，或，；理由如下：
如图2所示：，，
，
线段的中点为，，
，点与点重合，
点的坐标为：，；
由抛物线的对称性得另一点的坐标为，；
在线段上方的抛物线上存在点，使，点的坐标为：，，或，．