几何变换之旋转(3)练习-中考数学专题

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中考要求
例题精讲
板块四 与旋转有关的探索题型
（顺义区2009一模第22题）取一副三角板按图①拼，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图所示．
试问：⑴当为多少度时，能使得图②中？
⑵连结，当时，探寻值的大小变化情况，并给出你的证明．

（顺义区2009一模第25题）已知：在中，，在中，，连结，取的中点，连结和．
⑴ 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明；
⑵ 如果将图①中的绕点逆时针旋转小于的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
【巩固】(08年大兴一模考试题)如图，例题条件不变，将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，结论：为等腰直角三角形，成立吗?

【巩固】如图将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，其余条件不变，结论：为等腰直角三角形还成立吗?

如图，上例中的条件不变，将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，其余条件不变，证明：．
【巩固】如图，将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，其余条件不变，结论 还成立吗?

【巩固】如图，将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，其余条件不变，结论 还成立吗?

【巩固】如图，和都是等腰直角三角形，点为的中点，求证：．
已知：,,以为一边作正方形，使,两点落在直线的两侧如图，当时，求及的长；当变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的的大小。
已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接，．
⑴求证：；
⑵将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，取中点，连接，．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
⑶将图①中绕点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
F
B
A
C
E
图③
以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
图① 图②
已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD；
（2）如图 2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，若AG＝，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝，求线段PQ的长．
在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知,分别以AB,BC为边向外作且DA=DB，EB=EC，，连接DE交AB于点F，探究线段DF与EF的数量关系。
小慧同学的思路是：过点D作于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，，
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系
（2）如图2，若原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。
在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
图1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
G
图2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
A
H
C
D
E
图3
B
F
G
M
N
已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
F
B
C
E
D
A
图1
B
A
E
C
F
D
图2
图3
E
B
A
D
F
C
已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．
图2
图3
图1
(N)
（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）．
（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
A
A
A
C
C
C
B
B
B
M
M
M
N
N
N
K
K
K
图3
图1
图2
如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
图1 图2 图3
图8
如图1，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．
（1）若一个等腰直角三角板的顶点与点重合，求直角顶点的坐标；
（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点顺时针旋转，旋转角度为，当点落在直线上的点处时，求的值；
（3）在（2）的条件下，判断点是否在过点的抛物线上，并说明理由．
图1 图2
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．
能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．