人教版中考一轮复习 第8讲 圆--基础班

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知识点1 圆的有关性质
1. 基本性质
①圆心角的度数和它所对弧的度数相等；
②同圆或等圆的半径相等；
③圆既是轴对称图形（无数条对称轴），又是中心对称图形，具有旋转不变性；
④圆内接四边形的对角互补.
2. 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等.
3. 圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径；
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧.
【典例】
例1（2020秋•道里区期末）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B．
C．D．
例2（2020春•昌乐县期末）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦D．半圆是圆中最长的弧
例3（2020秋•仙居县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．5B．6.5C．7.5D．8
【随堂练习】
1．（2020春•诸城市期末）下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
2．（2020秋•抚顺县期末）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形OACB是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
3．（2020秋•延边州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140°B．40°C．70°D．50°
知识点2 垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【典例】
例1（2020•斗门区一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
例2 （2020•武汉模拟）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
【随堂练习】
1．（2020•泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5B．4C．92D．25
2．（2020•龙泉驿区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4B．9C．5D．8
知识点3 圆的切线
1. 点、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d1，圆心O到直线l的距离为d2.
①点P在⊙O外r＞d1；
②点P在⊙O上r＝d1；
③点P在⊙O内r＜d1；
④直线l和⊙O相交r＜d2；
⑤直线l和⊙O相切r＝d2；
⑥直线l和⊙O相离r＞d2.
2. 切线的性质与判定
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论：①经过圆心且垂直于切线的直径必过切点；
②经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心.
切线的判定方法：
①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线；
③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常做辅助线：连接圆心和切点.
3. 切线长即切线长定理
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【典例】
例1 （2020秋•科左中旗期末）已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为8cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断
例2（2020秋•呼和浩特期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25.5°，则∠P的度数为（ ）
A．52°B．51°C．61°D．64.5°
例3（2020秋•金川区期末）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若∠P＝30°，求∠B的度数．
例4（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
例5（2020秋•河东区期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝44°．
（Ⅰ）如图①，若点C为优弧AB上一点，求∠ACB的度数；
（Ⅱ）如图②，在（Ⅰ）的条件下，若点D为劣弧AC上一点，求∠PAD+∠C的度数．
【随堂练习】
1．（2020秋•河东区期末）已知⊙O的半径OA长为1，OB=2，则正确图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020秋•金川区期末）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（2020秋•吉林期末）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程）
4．（2020秋•连山区月考）如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC∥AF，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE并延长，交AF于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求DE的长．
知识点4 三角形的外心与内心
1. 确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法.
2. 三角形的外心
外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图：
性质：外心到三角形三个顶点的距离相等.
3. 三角形的内心
内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图：
性质：内心到三角形三边的距离相等.
拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.
【典例】
例1（2020秋•道里区期末）如图，⊙O为△ABC的外接圆，已知∠ABC为130°，则∠AOC的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．115°
例2（2020秋•永年区期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．160°C．80°D．130°
【随堂练习】
1．（2020秋•香坊区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，若∠OBC＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
2．（2020•白云区一模）如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（ ）
A．33B．35C．63D．65
知识点5 与圆有关的计算
1. 多边形与圆
在正n变形中，Rn为正n边形的半径，有下列关系：
①边长：an=2Rn·sin180°n； ②周长：Pn=n·an；
③边心距：rn=Rn·cs180°n； ④面积：Sn=12an·Rn·n；
⑤内角度数：n-2×180°n； ⑥外角度数：360°n；
⑦中心角度数：360°n.
2. 弧长与扇形的面积
若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，弧长l=nπR180.
若一个扇形的圆心角是n°，半径是R，弧长为l，则S扇形=nπR²360=12lR.
拓展：S弓形=S扇形±S△.
3. 圆锥的侧面积与全面积
若一个圆锥的底面半径为r，母线长为a，则S全=S侧+S底=πra+πr².
【典例】
例1 （2020•龙城区一模）如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧BC的长度为（ ）
A．π3B．2π3C．8π3D．4π3
例2（2020•夷陵区模拟）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积．
【随堂练习】
1．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则DE的长为（ ）
A．4π3B．πC．2π3D．π3
2．（2020•咸宁）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2-2B．π-2C．π2-2D．π﹣2
综合运用
1．（2020•资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
2．（2020秋•定西期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜4B．3＜r＜4C．4＜r＜5D．r＞5
3．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
4．（2020秋•崆峒区期末）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
5．（2020秋•路北区期末）如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC=3，则AD的长为 ．
6.（2020秋•同心县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F、C是半圆弧ABC上的三等分点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求AC的长．