人教版中考一轮复习 第8讲 圆--尖子班

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知识点1 圆的有关性质
1. 基本性质
①圆心角的度数和它所对弧的度数相等；
②同圆或等圆的半径相等；
③圆既是轴对称图形（无数条对称轴），又是中心对称图形，具有旋转不变性；
④圆内接四边形的对角互补.
2. 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等.
3. 圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径；
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧.
【典例】
例1（2020秋•滨海新区期中）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（ ）
A．1B．2C．3D．2
例2（2020秋•高新区期中）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．
（1）求证：AC=CD；
（2）若CE＝2，EB＝6，求⊙O的半径．
【随堂练习】
1．（2020秋•青田县期末）如图，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．
2．（2021•硚口区模拟）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
知识点2 垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【典例】
例1（2019秋•温州月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
例2（2020•东莞市一模）如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【随堂练习】
1．（2020•海淀区校级模拟）如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6B．8C．33D．63
2．（2020•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1B．233C．334D．332
知识点3 圆的切线
1. 点、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d1，圆心O到直线l的距离为d2.
①点P在⊙O外r＞d1；
②点P在⊙O上r＝d1；
③点P在⊙O内r＜d1；
④直线l和⊙O相交r＜d2；
⑤直线l和⊙O相切r＝d2；
⑥直线l和⊙O相离r＞d2.
2. 切线的性质与判定
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论：①经过圆心且垂直于切线的直径必过切点；
②经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心.
切线的判定方法：
①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线；
③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常做辅助线：连接圆心和切点.
3. 切线长即切线长定理
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【典例】
例1（2020秋•白云区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（ ）
A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定
例2（2020秋•河东区期末）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．2
例3（2020秋•和平区期末）已知⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2．
（1）如图①，点P是BC上一点，求∠APC的大小；
（2）如图②，过点C作⊙O的切线MC，过点B作BD⊥MC于点D，BD与⊙O交于点E，求∠DCE的大小及CD的长．
例4（2020秋•集贤县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，求弧DE的长；
（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．
【随堂练习】
1．（2020秋•永年区期末）若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．a＜﹣1B．a＞3C．﹣1＜a＜3D．a≥﹣1且a≠0
2．（2020秋•绥棱县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝25°，则∠B等于（ ）
A．25°B．65°C．75°D．90°
3．（2020秋•新抚区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．
（1）求证：ED＝EC；
（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
4．（2020秋•金昌期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
知识点4 三角形的外心与内心
1. 确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法.
2. 三角形的外心
外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图：
性质：外心到三角形三个顶点的距离相等.
3. 三角形的内心
内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图：
性质：内心到三角形三边的距离相等.
拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.
【典例】
例1（2020秋•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（ ）
A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）
例2（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A．h＝R+rB．R＝2rC．r=34aD．R=33a
【随堂练习】
1．（2020•道外区三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直径AD交BC于点E，若DE＝1，cs∠BAC=23，则弦BC的长为 ．
2．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）
A．43B．23C．2D．4
知识点5 与圆有关的计算
1. 多边形与圆
在正n变形中，Rn为正n边形的半径，有下列关系：
①边长：an=2Rn·sin180°n； ②周长：Pn=n·an；
③边心距：rn=Rn·cs180°n； ④面积：Sn=12an·Rn·n；
⑤内角度数：n-2×180°n； ⑥外角度数：360°n；
⑦中心角度数：360°n.
2. 弧长与扇形的面积
若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，弧长l=nπR180.
若一个扇形的圆心角是n°，半径是R，弧长为l，则S扇形=nπR²360=12lR.
拓展：S弓形=S扇形±S△.
3. 圆锥的侧面积与全面积
若一个圆锥的底面半径为r，母线长为a，则S全=S侧+S底=πra+πr².
【典例】
例1 （2020•姑苏区一模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为（ ）
A．πB．π+1C．2π+1D．2π+2
例2 （2020•吴江区一模）如图A、B、C在⊙O上，连接OA、OB、OC，若∠BOC＝3∠AOB，劣弧AC的度数是120，OC＝23．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π-123B．2π-3C．3π﹣23D．4π﹣33
【随堂练习】
1．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，扇形的圆心角为90°，半径OC＝4，∠AOC＝30°，CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是 ．
2．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得ACB的长为36cm，则ADB的长为 cm．
综合运用
1．（2020•资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
2．（2020秋•定西期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜4B．3＜r＜4C．4＜r＜5D．r＞5
3．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
4．（2020秋•崆峒区期末）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
5．（2020秋•路北区期末）如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC=3，则AD的长为 ．
6. （2020秋•同心县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F、C是半圆弧ABC上的三等分点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，求AC的长．