人教版中考一轮复习 第2讲 方程（组）与不等式（组）--基础班

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知识点1 一元一次方程
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.
⑵ 性质：① 如果，那么b±c；② 如果，那么bc；如果，那么
2. 方程、一元一次方程的解、概念
(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0.
3. 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.
4. 一元一次方程的应用：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【典例】
例1（2020秋•定西期末）如果3m＝3n，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．m﹣3＝n﹣3B．2m+3＝3n+2C．5+m＝5+nD．m-3=n-3
【解答】解：A、由3m＝3n得m＝n，两边都减去3得m﹣3＝n﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、3m＝3n两边都加上2得3m+2＝3n+2，原变形错误，故此选项符合题意；
C、由3m＝3n得m＝n，两边都加上5得5+m＝5+n，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由3m＝3n得m＝n，两边都除以﹣3得m-3=n-3，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【方法总结】
本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以一个不为0的数），所得结果仍是等式．
例2（2020秋•绥中县期末）解方程
（1）2（x﹣1）＝6﹣（x﹣4）．
（2）x+12=x-2-x4．
【解答】解：（1）去括号，可得：2x﹣2＝6﹣x+4，
移项，可得：2x+x＝6+4+2，
合并同类项，可得：3x＝12，
系数化为1，可得：x＝4．
（2）去分母，可得：2（x+1）＝4x﹣（2﹣x），
去括号，可得：2x+2＝4x﹣2+x，
移项，可得：2x﹣4x﹣x＝﹣2﹣2，
合并同类项，可得：﹣3x＝﹣4，
系数化为1，可得：x=43．
【方法总结】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
例3（2020秋•渝水区校级期中）若方程12﹣3（x+1）＝7﹣x的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，求k的值．
【解答】解：∵12﹣3（x+1）＝7﹣x，
∴12﹣3x﹣3＝7﹣x，
∴2＝2x，
∴x＝1，
把x＝1代入6﹣2k＝2（x+3）得6﹣2k＝8，
∴k＝﹣1．
【方法总结】
本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
例4（2020秋•城关区校级月考）已知方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程k+x2-2＝2x的解互为倒数，求k的值．
【解答】解：解方程2﹣3（x+1）＝0得：x=-13，
∵方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程k+x2-2＝2x的解互为倒数，
∴关于x的方程k+x2-2＝2x的解是x＝﹣3，
把x＝﹣3代入方程k+x2-2＝2x得：k-32-2＝﹣6，
k-32=-4，
k﹣3＝﹣8，
k＝﹣5．
【方法总结】
本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
例5（2020秋•金昌期末）学校购买一批教学仪器，由某班学生搬进实验室，若每人搬8箱，还余16箱，若每人搬9箱，还缺少32箱，这个班有多少名学生？这批教学仪器共有多少箱？
【解答】解：设这个班有x名学生，
根据题意得：8x+16＝9x﹣32，
解得：x＝48，
8x+16＝8×48+16＝384+16＝400，
则这个班有48名学生，这批教学仪器共有400箱．
【方法总结】
此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
例6（2020秋•莫旗期末）两辆汽车从相距80km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km/h，半小时后两车相遇？
（1）两车的速度各是多少？
（2）两车出发几小时后相距20km？
【解答】解：（1）设乙车的速度为xkm/h，则甲车速度为（x+20）km/h，
根据题意得：（x+x+20）×12=80，
解得：x＝70，
∴x+20＝70+20＝90，
则甲车速度为90km/h，乙车速度为70m/h；
（2）设两车出发y小时相距20km，
当两车没有相遇时相距20km，
根据题意得：（70+90）y+20＝80，
解得：y=38；
当两车相遇后相距20km，
根据题意得：（70+90）y＝80+20，
解得：y=58，
综上，两车出发38小时或58小时后相距20km．
【方法总结】
此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•瓜州县期末）在下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．由2x+1＝3x，得2x+3x＝1B．由25x=34，得x=34×52
C．由2x=34，得x=32D．由-x+13=2，得﹣x+1＝6
【解答】解：A、由2x+1＝3x得2x﹣3x＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由25x=34得x=34×52，原变形正确，故此选项符合题意；
C、由2x=34得x=38，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由-x+13=2得﹣x﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（2020秋•瓜州县期末）解方程：3x-13=4x-16．
【解答】解：去分母，可得：2（3x﹣1）＝4x﹣1，
去括号，可得：6x﹣2＝4x﹣1，
移项，合并同类项，可得：2x＝1，
系数化为1，可得：x＝0.5．
3．（2020秋•全椒县期中）已知方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x﹣2a＝0的解互为相反数，求a的值．
【解答】解：解方程x﹣2a＝0得：x＝2a，
∵方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x﹣2a＝0的解互为相反数，
∴3（﹣2a）+2a﹣1＝0，
解得：a=-14．
4．（2020秋•西丰县期末）已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．
【解答】解：因为关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，
所以解方程3x﹣2＝﹣4，得x=-23，
把x=-23代入2（x﹣1）＝3m﹣1，得
2（-23-1）＝3m﹣1，
解得m=-79．
5．（2020秋•九龙县期末）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B地，A、B两地间的路程是多少千米？
【解答】解：设A、B两地间的路程为x千米，
根据题意得x40-x60=2
解得x＝240
答：A、B两地间的路程是240千米．
知识点2 一元二次方程
1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为.
（1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.
（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即 .
（3）