人教版中考一轮复习 第7讲 平行四边形--尖子班 试卷

第7讲 平行四边形

知识点1 一般的平行四边形
1. 平行四边形的性质与判定
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的性质：

如图，已知▱ABCD.

则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;
②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;
③OA=OC,OB=OD.
拓展：①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2. 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.

EF是平行线AB，CD之间的距离.
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.
3. 三角形的中位线
图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=12BC）
注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）
拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）
【典例】
例1（2020春•南岗区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AG⊥BD于G，CH⊥BD于H．
（1）求证：OG＝OH；
（2）若∠BAC＝90°，∠AOD＝120°，请直接写出图中所有长度是OG长度2倍的线段．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BO＝DO，
∴∠ABG＝∠CDH，
∵AG⊥BD，CH⊥BD，
∴∠AGB＝∠CHD＝90°，
在△ABG和△CDH中，
∠AGB=∠CHD∠ABG=∠CDHAB=CD，
∴△ABG≌△CDH（AAS），
∴BG＝DH，
∴BO﹣BG＝DO﹣DH，
∴OG＝OH；
（2）∵OG＝OH，
∴GH＝2OG，
∵∠AOD＝120°，AG⊥BD于G，
∴∠OAG＝30°，
∴CO＝AO＝2OG，
∴长度是OG长度2倍的线段为GH，AO，CO．

【方法总结】
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
例2（2020春•东坡区校级期中）在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为（　　）s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？

A．2 B．3 C．6 D．2或6
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
【方法总结】
此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
【随堂练习】
1．（2020春•惠州期末）如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是　4　．

【解答】解：过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图：

∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，∠A＝∠CHQ＝90°，
∴△ADP≌△HCQ（AAS），
∴AD＝HC，
∵AD＝1，BC＝3，
∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故答案为：4．
2．（2020春•钦州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．当t＝　5　s时，四边形APQB是平行四边形．

【解答】解：由题意可得AP＝tcm，CQ＝2tcm，BQ＝15﹣2t（cm），
∵四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣2t，
∴t＝5，
故答案为：5．
知识点2 矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.

1. 矩形的性质
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：
①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）
②矩形的对角线相等；（AC=BD）
③对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，
则DO=12AC）
拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.
2. 矩形的判定
矩形的判定方法：
①有一个角时直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③三个角都是直角的四边形是矩形.
3. 拓展
矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.
【典例】
例1（2020春•常州期中）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
∴OP=12OD＝3，
故选：A．
【方法总结】
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
例2（2020春•南京期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
【方法总结】
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【随堂练习】
1.（2020春•蚌埠期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是　4.8　．

【解答】解：连接AP，
∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BAC＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最小，
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
由勾股定理得：AC=BC2-AB2=102-62=8，
由三角形面积公式得：△ABC的面积=12×AB×AC=12×BC×AP，
∴AP=AB×ACBC=6×810=4.8，
即EF＝4.8，
故答案为：4.8．

2.（2020春•横县期末）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：CE⊥EF．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，
∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵AF＝2，
∴BF＝1，
∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，
∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，
∴BC=CF2-BF2=32-12=22，
∴BC的长是22；
（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC=22，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE=2，
∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，
∴根据勾股定理得，EF=AE2+AF2=6，
∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，
∴根据勾股定理得，EC=CD2+DE2=3，
∵△CEF中，EC=3，EF=6，CF＝3，
∴CE2+EF2＝CF2，
∴△CEF是直角三角形，
∴CE⊥EF．

3．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．

【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．

知识点3 菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.

1. 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：
①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB
和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）
③对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直
线（AC，BD））
2. 菱形的判定
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是矩形.
3. 拓展
①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；
②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.
【典例】
例1（2020春•东坡区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=12∠BAD=12×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣40°＝60°，
∵在△BCF和△DCF中，BC=DC∠BCF=∠DCFCF=CF，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝60°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故选：D．

【方法总结】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
例2（2020•枣阳市校级模拟）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）

A．OM=12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
【方法总结】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例3（2020春•永州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB边上的中点，AE∥DC，CE∥DA．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接DE，若AC=3，BC＝1．求证：△ADE是等边三角形．

【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD=12AB＝BD＝AD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，BC＝1，
∴AB=AC2+BC2=(3)2+12=2，
∴BC=12AB，
∴∠CAB＝30°，
∵四边形ADCE是菱形，
∴∠EAD＝2∠CAB＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形．
【方法总结】
本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020•金牛区模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　6　时，平行四边形CDEB为菱形．

【解答】解：连接CE交AB于点O，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，AC=AB2-BC2=122-62=63，
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，
∵12AB•OC=12AC•BC，
∴OC=AC⋅BCAB=63×612=33，
∴OB=BC2-OC2=62-(33)2=3，
∴AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，
故答案为：6．


2．（2020春•呼和浩特期末）如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AD的中点，且AB＝5，AC＝6．
（1）△OEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）求线段EF的长．

【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴OE、OF是△ABD的中位线，
∴OE=12AD，OF=12AB，
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC=12AC＝3，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB=AB2-OA2=52-32=4，
∴BD＝2OB＝8，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12BD＝4．
3．（2020秋•魏县月考）如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABN，
∴AO＝CO．
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB．
在△ADO和△CBD中，∠DAO=∠BCD，AO=CO，∠AOD=∠COB，，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBD．
∴AD＝CB．
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，OB＝OD．
又∵DE⊥BD，
∴AC∥DE．
又∵AM∥BN，
∴四边形ACED平行四边形．
∴AC＝DE＝2．
∴AO＝1．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=AB2-AO2=22-12=3，
∴BD＝2BO＝23．
∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×2×23=23．
知识点4 正方形
正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.

1. 正方形的性质
正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：
①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）
②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）
③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）
④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，
AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA
的角平分线）
⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它
的两条对角线所在的直线（AC，BD））
2. 正方形的判定
正方形的判定方法：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形.
判定正方形的思路图：

3. 拓展
正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
【典例】
例1 （2020春•南宁期末）如图，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AF＝BE．
（1）求证：∠BAE＝∠ADF；
（2）若∠BAE＝30°，AF＝2，求OD的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AB＝AD，
又∵AF＝BE，
在△ABE与△DAF中AB=AD∠B=∠DAB=90°AF=BE，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE＝∠ADF；
（2）解：∵△ABE≌△DAF，
∴∠BAE＝∠ODA，
∴∠DAO+∠ODA＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵∠BAE＝30°，AF＝2，
∴OF=12AF＝1，DF＝2AF＝4，
∴OD＝DF﹣OF＝3．
【方法总结】
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出△DAF≌△ABE是解本题的关键．
例2（2020春•嘉定区期末）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC＝CD．
又∵CE＝BC，
∴BE＝2BC，
∴BE＝2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
又∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
又∵CA＝CB，
∴CA＝CE，
∴矩形ACED是正方形．
【方法总结】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．

【随堂练习】
1．（2020秋•江岸区校级月考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（　　）

A．72 B．4 C．29 D．582
【解答】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AC=2AB＝52，CF=2CE＝22，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF=(52)2+(22)2=58，
∵T为AF的中点，
∴CT=12AF=582．
故选：D．


2．（2020春•唐河县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

【解答】证明：（1）∵▱ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一）
即 BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
3.（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．

【解答】解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．

（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ=12AF，HK＝IJ=12ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．


知识点4 中点四边形
1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.

如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.
2. 常见中点四边形
①四边形的中点四边形为平行四边形；
②矩形的中点四边形为菱形；
③菱形的中点四边形为矩形；
④正方形的中点四边形为正方形；
⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；
⑥对角线相等的中点四边形为菱形；
⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.
【典例】
例1（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形
B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形
C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形
D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形
【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；
B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；
C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；
D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；
故选：D．
【方法总结】
本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．
例2（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．

【解答】证明：（1）∵EH是△ABO的中位线，
∴EH∥AO，EH=12AO．
同理，FG是△ACO的中位线，
∴FG∥OA，FG=12AO．
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）设OA与EF的交点为D，
∵AB＝AC，E、F分别为AB，AC的中点，
∴AE＝AF．
∵AO平分∠BAC，
∴AD⊥EF．
∵EH∥AD，
∴∠HEF＝∠ADE＝90°，
∴四边形EFGH为矩形．

【方法总结】
本题考查了中点四边形，平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•沈阳月考）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝7，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（　　）

A．32 B．41 C．36 D．49
【解答】解：如图，连接EF、FG、HG、EH，
∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG=12BD＝3.5，EF＝HG=12AC＝3.5，
∴EH＝FG＝EF＝HG，
∴四边形EFGH是菱形；
∴EG⊥FH，EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝3.52，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝4×3.52＝49，
∴（2OE）2+（2OH）2＝49，
即EG2+FH2＝49．
故选：D．

2．（2020春•龙岩期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证四边形EFGH是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形EFGH的面积．

【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，
∵点E，F是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF=12AC，
同理可证HG∥AC，HG=12AC，
∴EF=HG=12AC，
同理可证EH=FG=12BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
（2）解：如图2，连接EG，HF，
则EG＝BC＝4，HF＝AB＝3，
∴四边形EFGH面积=12HF×EG=12×3×4=6．





综合运用
1.（2020春•东坡区期末）如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则BC长为（　　）

A．20 B．5 C．10 D．15
【解答】解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多10，
∴BC﹣AB＝10，①
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴BC+AB＝20，②
由①+②，可得2BC＝30，
∴BC＝15．
故选：D．
2．（2020•工业园区一模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（　　）

A．2cm B．3cm C．2cm D．1cm
【解答】解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1，
∴DE＝1，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1，
∴AD=2，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC=AD2+CD2=(2)2+12=3，
故选：B．

3．（2020春•防城港期末）如图，四边形AFDC是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E，A，B三点共线，CE＝5，求AB的长．

【解答】解：∵ 四边形AFDC是正方形，
∴ CA ＝AF，∠CAF＝ 90°，
∵ 点E，A，B三点共线，
∴ ∠EAC +∠BAF ＝ 180°﹣∠CAF ＝ 90°，
又∵ ∠CEA ＝∠ABF ＝ 90°，
∴ ∠EAC +∠ECA ＝ 90°，
∴ ∠ECA ＝∠BAF，
∴ △CEA ≌ △ABF（AAS），
∴ AB ＝ CE＝ 5．
4．（2020春•秦淮区期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．

【解答】证明：连接 AC、BD，
∵E、F 分别为 AB、BC 中点，
∴EF 为△ABC 中位线．
∴EF∥AC 且 EF=12AC．
同理可得：HG∥AC 且 HG=12AC，EH∥BD．
∴EF∥HG 且 EF＝HG．
∴四边形 EFGH 为平行四边形．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD．
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD．
∵EH∥BD，
∴EH⊥EF．
∴∠FEH＝90°．
∴四边形 EFGH 是矩形．

5.（2020春•江汉区期末）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．

【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF=AB2+AF2=42+32=5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA=32-1．82=2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．