人教版中考一轮复习 第6讲 三角形--基础班

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知识点1三角形初步
三角形的定义：
由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.
2.三角形的各组成部分：
（1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；
（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；
（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC或△BAC或△CBA.
（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.
3、其他概念与定理
三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.
三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.
高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.
三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.
三角形分类：
(1)按角分：三角形
（2按边分：三角形
5、三角形的特性：稳定性
【典例】
例1（2020•定兴县一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．以上都有可能
例2（2020秋•恩施市期中）图中锐角三角形的个数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
例3（2020秋•五常市期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．4，5，10B．7，6，8
C．3.3，1.2，1.1D．4，2，6
例4 （2020秋•绥棱县期末）已知三角形ABC中，∠A＝40°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D．求∠D的度数．
例5（2020秋•蚌埠期中）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．
【随堂练习】
1．（2020秋•武昌区期中）如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，
得AB+AD＞ ；
PD+CD＞ ．
将不等式左边、右边分别相加，
得AB+AD+PD+CD＞ ，
得AB+AC＞ ．
2．（2020秋•禅城区期末）已知：如图在△ABC中，BD是角平分线，DE∥BC，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠BDE的度数．
3．（2020秋•新宾县期末）如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．
知识点2等腰三角形
等腰三角形的概念与性质
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.
2、等腰三角形的性质
①等腰三角形的腰相等
②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“
【典例】
例1（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍
例2 （2020秋•香坊区期末）等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（ ）
A．10B．13C．17D．13或17
例3（2020秋•武都区期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（ ）
A．65°，65°B．80°，50°
C．65°，65°或80°，50°D．不确定
【随堂练习】
1．（2020秋•松山区期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40°B．55°C．65°D．70°
2．（2020秋•二道区期末）等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，那么腰长为（ ）
A．8cmB．10cmC．6cm或8cmD．12cm或8cm
4．（2020秋•绿园区期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 ．
知识点3等边三角形
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
等边三角形的性质：
①三边相等
②三个内角相等，都是60°
③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.
【典例】
例1（2020春•荔湾区月考）等边△ABC的边长是4cm，那么AB边上的高为（ ）cm．
A．23B．6C．3D．6
例2（2020秋•路北区期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
例3（2020秋•晋安区期中）如图，在△ABC中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数．
【随堂练习】
1．（2020秋•松桃县月考）如图，等边△ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC度数为 ．
2．（2020秋•泰兴市期中）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝ °．
3．（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．
求证：MB＝ME．
知识点4直角三角形
直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.
1、直角三角形的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
3.勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【典例】
例1（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
例2（2020秋•涿州市期中）下列说法中错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
例3（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6B．36C．64D．8
例4（2020秋•麻城市期中）如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
【随堂练习】
1．（2020秋•长春期末）如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（ ）
A．7B．10C．20D．25
2．（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2020秋•金乡县期中）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠EFH＝20°，求∠EHB的度数．
知识点5全等三角形
1、全等三角形及相关的概念
（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.
（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.
（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；
（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.
易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.
2、全等三角形的性质
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.
易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.
一般三角形全等的判定方法
①边边边（SSS）
②边角边（SAS）
③角边角（ASA）
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④角角边（AAS）
直角三角形全等的判定方法
①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.
②斜边、直角边定理（HL）
文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
【典例】
例1 （2020秋•滦南县期末）已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠F＝85°，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．85°C．65°D．55°
例2（2020秋•连江县期中）如图，△ABC≌△ADE，分别延长BC，ED交于点F，∠BAC＝50°，∠CAD＝60°，求∠F的度数．
例3（2020秋•南京期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC上任意一点（与点B、C不重合），以AD为一边向右侧作等边△ADE，连接CE．
求证：△CAE≌△BAD．
例4（2020秋•西宁期末）如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，连结BE，CE，若∠DAC＝25°，∠ACE＝20°．
（1）求证：DE＝DC；
（2）若BE＝AC，求证：BD＝AD．
【随堂练习】
1．（2020秋•南关区校级期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2．（2020秋•永吉县期中）如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG和MH是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段HG的长．
3．（2020秋•松山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，CE＝DB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEB+∠FEC的度数．
知识点6相似三角形
1、相似三角形的概念与性质：
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.
2、相似三角形的性质：
①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
4、 黄金分割
一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图）， 如果，那么称线段 AB 被点 C黄金分割， 点C 叫做线段 AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比.
【典例】
例1（2021•松江区一模）如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
例2（2020秋•郧西县期末）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
A．ABAC=BCCDB．ACAD=ABACC．AC2＝AD•ABD．ABBC=ACAD
例3（2020秋•浦东新区月考）两个相似三角形对应边的比是2：3．它们的面积和为65平
方厘米，求较小三角形的面积．
例4（2021•长宁区一模）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（ ）
A．5（3-5）B．10（5-2）C．5（5-1）D．5（5+1）
例5（2020秋•山东月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
【随堂练习】
1．（2020秋•兰州期末）如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（ ）
A．143B．67C．143或67D．无法确定
2．（2020秋•历下区期中）如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
3．（2020秋•碑林区校级月考）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．55-5B．15-55
C．55+5D．15-55或55-5
4．（2020秋•瑶海区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F．求证：△AEF∽△CAB．
综合运用
1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ）
A．10B．3C．5D．4
3．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．
4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上
（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；
（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．
5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．
6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．
（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；
（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．
10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 ．