人教版中考一轮复习 第6讲 三角形--尖子班

第6讲  三角形

知识点1三角形初步

1. 三角形的定义：

由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.

2.三角形的各组成部分：

 （1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；

（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；

（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC或△BAC或△CBA.

（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.

3、其他概念与定理

三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.

三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.

高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.

三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.

4、三角形分类：

 (1)按角分：三角形

（2按边分：三角形

5、三角形的特性：稳定性

【典例】

例1（2020秋•潮阳区期末）如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　　个．

例2（2020秋•八步区期中）已知，△ABC的三边长为4，9，x．

（1）求△ABC的周长的取值范围；

（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．

例3（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．

（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．

【随堂练习】

1．（2020春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．

（1）求AB、AC的长．

（2）求BC边的取值范围．

2．（2020秋•伊通县期末）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；

（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　　．

3．（2020秋•肇州县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．

（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；

（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．

知识点2等腰三角形

等腰三角形的概念与性质

1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.

2、等腰三角形的性质

 ①等腰三角形的腰相等

 ②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）

 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“

【典例】

例1（2020秋•盘龙区期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为　　．

例2（2020秋•崆峒区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若AB＝11cm，△BCE的周长为17cm，则BC＝　　cm．

例3（2020秋•双阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．

（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；

（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．

【随堂练习】

 1.（2020秋•香坊区期末）如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠PAC的度数为　　°．

2．（2020秋•永吉县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE．

（1）求∠BEC的度数；

（2）求证：AE＝BC．

3．（2020秋•武威期末）如图所示，在△ABC中．AB＝AC．∠A＝36°，DE垂直平分AB交AC于点D，垂足为点E，求证：AD＝BC．

知识点3等边三角形

等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.

等边三角形的性质：

①三边相等

②三个内角相等，都是60°

③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.

【典例】

例1（2020•浙江自主招生）如图所示，三条直线l1，l2，l3相互平行，且l1，l2的距离为1，l3，l2的距离为2，正三角形ABC的三个顶点分别在三条平行线上，求正三角形ABC的边长．

例2（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△ECD，连接BE，交AC于F．

（1）猜想AC与BE的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BE的长．

【随堂练习】

1．（2020秋•南岗区期中）已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．

（1）如图1，求证：DB＝DE；

（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．

2．（2020秋•湖里区校级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．

（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；

（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．

知识点4直角三角形

直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

1、直角三角形的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.

性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；　　在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

2．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.

（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.

3.勾股定理的逆定理：

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

【典例】

例1 （2020秋•金乡县期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

例2（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　）

A．2π B．3π C．4π D．8π

例3（2020秋•八步区期中）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．

（1）求∠DCE的度数．

（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．

【随堂练习】

1．（2020秋•太原期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．

（1）求证：△BDC是直角三角形；

（2）求△ABC的周长．

2．（2020春•海珠区校级期中）如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）求线段AB的长；

（2）求∠ABC的度数．

3．（2020秋•朝阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，求此四边形ABCD的面积．

知识点5全等三角形

1、全等三角形及相关的概念

（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.

（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.

（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；

（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.

易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.

2、全等三角形的性质

性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.

易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.

3、一般三角形全等的判定方法

①边边边（SSS）

②边角边（SAS）

③角边角（ASA）

④角角边（AAS）

4、直角三角形全等的判定方法

①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.

②斜边、直角边定理（HL）

文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

【典例】

例1（2020秋•中山区期末）如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

例2（2020秋•九龙坡区期中）如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC＝4．

（1）求∠BAC的度数；

（2）求△ABC的面积．

例3（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：

（1）AB∥CD；

（2）△ABC≌△BAD．

例4（2020秋•河南期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BE＝CD，点F在AE的延长线上，AF＝AC．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若∠BAD＝18°，求∠AFC的度数．

【随堂练习】

1．（2020秋•集贤县期末）如图，△ACE≌△DBF，AE∥DF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（　　）

A．2 B．8 C．9 D．10

2．（2020秋•新抚区校级月考）如图，已知△ABF≌△CDE．

（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；

（2）求证：AE＝CF．

3．（2020秋•呼和浩特期末）如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．

（1）若∠ABC＝72°，求等腰三角形BFC与等腰三角形ABE的底角的度数；

（2）求证：∠BEC＝∠BAF；

（3）判断△AFC的形状并说明理由．

知识点6相似三角形

1、相似三角形的概念与性质：

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.

2、相似三角形的性质：

①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.

②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3、相似三角形的判定

①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

4、 黄金分割

一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图）， 如果，那么称线段 AB 被点 C黄金分割， 点C 叫做线段 AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比.

【典例】

例1（2020秋•青羊区校级月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列各式不正确的是（　　）

A．AP：BP＝AB：AP B．APAB 

C．BPAB D．AP≈0.618AB

例2（2020秋•宝山区月考）如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是　　．

例3（2020秋•东港市期中）如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．

例4（2020秋•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．

（1）求证：△BAD∽△CAD；

（2）若点O是AC边上一点，连接BO交AD于E，OF⊥OB交BC边于点F，求证：△ABE∽△COF．

【随堂练习】

1．（2020秋•滦州市期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，BC＝7，CD＝6，若图中两个阴影部分的两个三角形相似，则点P到点B的距离为　　．

2．（2020秋•崇川区月考）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．35 C． D．20﹣8

3．（2020秋•杏花岭区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝9cm，动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度向点B运动；动点Q从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C运动．点P和点Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．设动点的运动时间为ts，请问当△QBP与△ABC相似时，t的值是多少？

   综合运用

1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（　　）

A．10 B．3 C．5 D．4

3．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．

4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上

（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；

（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．

5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．

6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．

7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．

（1）求证：∠BAD＝∠CAD；

（2）求∠ADB的度数．

8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．

（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；

（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．

10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．

（1）求证：△PAF∽△AED；

（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长　　．