人教版八年级下册17.1 勾股定理同步达标检测题

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第2讲 勾股定理
知识点1 勾股定理的图形计算问题
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.
a2+b2=c2
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，
则c2=a2+b2，c=；
a2 =c2-b2，a=；
b2=c2-a2，b=.
【典例】
例1 （2020秋•青羊区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
【解答】解：（1）由图可知：BC=12+42=17．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4−12×1×4−12×2×4−12×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC=12×BC×AH，
∴7=12×17×AH，
∴AH=141717．
∴BC边上的高为141717．
【方法总结】
本题考查了勾股定理和面积计算，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
例2（2020秋•山西月考）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC．
（1）求出AC的长和BD的长．
（2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？
【解答】解：（1）因为∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
所以AC2＝162+122＝400，
所以AC＝20cm．
因为12AB⋅BC=12AC⋅BD，
所以． BD=12×1620=485（cm），
（2）当点P在线段CA上时，12PC⋅BD=36，
所以PC=152，
此时t＝7.5；
当点P在线段AB上时，12BP⋅CB=36，
所以BP＝6，
此时t＝30，
所以当t为152或30时，△PBC的面积为36cm2．
【方法总结】
此题考查勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答．
【随堂练习】
1．（2020秋•和平区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，
∴BD＝10，
在△BCD中，
∵DC2+BD2＝100+576＝676，BC2＝262＝676，
∴DC2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD=12×10×24+12×6×8＝96（cm2）．
2．（2020秋•宝应县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
【解答】证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴EC2﹣EA2＝AC2，
∴EC2＝EA2+AC2，
∴∠A＝90°；
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB=BC2−AC2=102−62=8，
∵EB＝EC，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14．
3．（2020秋•南海区校级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的度数．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB=12+52=26，AD=12+42=17，CD=12+22=5，BC=22+42=25，
∴四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC=26+17+5+25=26+17+35；
（2）连接BD，
∵BC＝25，CD=5，BD=32+42=5，
即BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
知识点2 勾股定理的应用
解勾股定理实际问题的一般步骤：
①仔细审题，读懂题意；
②找出或构造出与问题有关的直角三角形；
③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；
④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；
⑤作答.
解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.
【典例】
例1（2020秋•荥阳市期中）郑州市如意湖的两岸有，两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与垂直的方向上取点，测得米，米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点到直线的距离．
【解答】解：（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定理，得．
因为米，米，
所以．
因为，
所以米．
即，两点间的距离是40米．
（2）过点作于点．
因为，
所以．
所以（米，
即点到直线的距离是24米．
【方法总结】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
例2（2020秋•高州市期中）如图，所示，湖的两岸有两点，，在与成直角的方向上的点处测得米，米．
求：（1），两点间的距离；
（2）点到直线的距离．
【解答】解：（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定理，得．
因为米，米，
所以．
因为，
所以米．
即，两点间的距离是30米．
（2）过点作于点．
因为，
所以．
所以（米，
即点到直线的距离是24米．
【方法总结】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
【随堂练习】
1．（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口出发，甲船以30海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
【解答】解：甲的速度是30海里时，时间是2小时，
海里．
，，
．
海里，
海里．
乙船也用2小时，
乙船的速度是40海里时．
2．（2020春•海安市月考）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 680 元．
【解答】解：由勾股定理得，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要（元．
故答案为：680．
知识点3 勾股定理的逆定理
勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【典例】
例1（2020秋•岐山县期中）下列四组数中，是勾股数的是
A．0.3，0.4，0.5B．，，C．30，40，50D．，，
【解答】解：．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
．，，，不是勾股数；
．，、40、50是勾股数；
．且，，均不是整数，，，不是勾股数；
故选：．
【方法总结】
本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键．
例2 （2020秋•镇江期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
的垂直平分线分别交、于点、，
，
，
，
，
是直角三角形，且；
（2）解：，，
，，
，
．
【方法总结】
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
例3 （2020秋•武侯区校级月考）如图，在中，，，，以为边向外作等边，求四边形的面积．
【解答】解：过作于，
，
是直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的面积是：．
【方法总结】
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
例4 （2020春•滨城区期末）如图，在中，于点，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积；
（3）判断的形状．
【解答】解：（1），
，
由勾股定理得：；
（2）在中，由勾股定理得：，
，
，
的面积；
（3），，，
，
，
是直角三角形．
【方法总结】
题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积导尿管知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【随堂练习】
1．（2020秋•成都期中）若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，我们称它们为一组“完美勾股数”．当时，共有 8 组这样的“完美勾股数”．
【解答】解：，，
又，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
2．（2020春•西城区校级期中）下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 2 ．
【解答】解：①，不是整数，不是勾股数；
②，是勾股数；
③，是勾股数；
④，不是勾股数；
其中是勾股数的组为2．
故答案为：2．
3．（2020秋•江阴市期中）已知：如图，四边形，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
4．（2020秋•双流区校级期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【解答】解：，，，
；
，
，
，
四边形的面积为：．
答：四边形的面积为114．
综合运用
1．（2020秋•武侯区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（ ）
A．4.8B．14C．10D．2.4
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴12AC•BC=12AB•CD，即12×6×8=12×10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
2．（2020春•洪山区月考）已知一个直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边长为（ ）
A．8B．234C．8 或234D．8 或34
【解答】解：设第三边长为a，
当a为斜边时，a=62+102=234；
当10为斜边时，10=62+a2，解得a＝±8（负值舍去）．
综上所述，第三边的长为234或8．
故选：C．
3．（2020秋•宁化县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．
【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB=162+122=20，AC=122+52=13，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54，即△ABC的周长是54．
4．（2020秋•吉安期中）如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？
【解答】解：（1）AC=10，BC=10，AB=22，所以△ABC的周长为210+22；
（2）设BC边上的高是h，
S△ABC=3×3−12×1×3×2−12×2×2=4．
∴12BC⋅ℎ=4，
∴h=4105．
∴BC边上的高是4105．
5．（2020秋•长春期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【解答】解：由勾股定理可得：，
40米千米，
2秒小时．
．
所以超速了．
6．（2020秋•二道区期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知，，，，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
【解答】解：连结，如图所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
铺满草坪的面积（平方米）．
7．（2020秋•碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，米，米，米，米．若每平方米草皮需要200米，则共需要投入多少钱？
【解答】解：连接，
在中，，，，
（米．
在中，，，，
．
是直角三角形，且．
（平方米）．
四边形空地的面积为234平方米．
（元．
答：学校共需投入46800元．
8．（2020秋•碑林区校级期中）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点的小路，且于点，试求小路的长．
【解答】解：（1）如图，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
这块空地的面积
，
答：这块空地的面积是；
（2），
，
．
9．（2020秋•南京期中）如图，在中，是边上的高，，，．
（1）求的长；
（2）是直角三角形吗？请说明理由．
【解答】解：（1）是边上的高，
，
，，
，
，
；
（2）是直角三角形，
理由：，，
，
，
是直角三角形
10．（2020春•海安市月考）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的周长及面积；
（2）连接，判断的形状．
【解答】解：（1）根据勾股定理得，，，，
故四边形的周长为；
面积为；
（2）连接，
，，，
，
，
是直角三角形．
日期：2021/1/18 11:11:56；用户：广饶数学；邮箱：chayin5@xyh.cm；学号：24896626