考向23 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（原卷版）

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考向23  平面向量的概念及线性运算 【2022·全国·高考真题】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．【2022·全国·高考真题（文）】已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因为，所以.故选：D1.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量与的关系：是方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小2.平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 共线向量定理向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律②结合律减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．1．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）在凸四边形中，，则以下结论正确的是（       ）A． B．四边形为菱形C． D．四边形为平行四边形2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（       ）A．且 B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（       ）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤4．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）A． B． C． D．5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）A． B． C． D．6．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）A． B． C． D．  1．（2022·广东·模拟预测）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·湖南怀化·一模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（       ）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量，，满足，则（       ）A．，方向相同 B．，方向相同C．，方向相同 D．，，两两互不共线4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在中，点D在边上，且，若，则（       ）A． B．3 C．2 D．15．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（       ）A． B． C． D．6．（2022·江苏常州·模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，则实数（       ） A．2 B．3 C．4 D．57．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ）A．4 B． C． D．28．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（       ）A．若为单位向量，且，则B．若，，则C．D．若平面内有四点，则必有9．（多选题）（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（       ）A． B．C． D．10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中一模）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（       ）A．线段A，B的中点的广义坐标为B．A，B两点间的距离为C．若向量平行于向量，则D．若向量垂直于向量，则11．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（       ）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形12．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（       ）A． B．C．∥ D．13．（多选题）（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（       ）A．若角，则B．若，则C．若，则，的夹角为D．若，则为圆O的一条直径14．（多选题）（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________． 16．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标      1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．53．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（       ）A． B． C． D．4．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（       ）A． B． C． D．5．（2015·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（       ）A． B．C． D．6．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．8．（2021·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．9．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．10．（2020·全国·高考真题（文））设向量，若，则______________.11．（2020·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.12．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________. 1．【答案】A【解析】如图（1）所示，设，则 都是单位向量，因为，所以，可得，又因为，所以，且为的平分线，所以C不正确；在中，因为，且，可得，所以四边形的面积大于，所以A正确；如图图（2）所示只有当时，此时凸四边形才能为平行四边形且为菱形，所以B、D不正确；故选：A.2．【答案】D【解析】对于A，当且时，或，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，当时，或，C错误；对于D，当时，，D正确．故选：D．3．【答案】C【解析】（1） ，故错误；（2） 根据数乘的定义，正确；（3） 是表达式错误，0是数量， 是向量，这样的表达式没有意义，故错误；（4） ，故错误；（5）当向量 与 的夹角是 时， ，故错误；（6）同（5），错误；（7） ，故正确；故选：C.4．【答案】B【解析】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.5．【答案】C【解析】解：因为，所以，所以.故选：C.6．【答案】B【解析】故选：B.  1．【答案】A【解析】如图所示，根据题意可得，所以，所以，所以.故选：A.2．【答案】C【解析】解：以，为邻边作平行四边形，设，，则，由题意，设，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值为6.故选：C．3．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故选：A.4．【答案】B【解析】由题意知：，则，即，则，即.故选：B.5．【答案】A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：设，，因为，所以，即，因为A、B、D三点共线，所以，解得：，所以，即因为AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因为，所以.故选：A6．【答案】B【解析】由，可得，又则又，， 则即则即，整理得解之得，或（舍）故选：B7．【答案】B【解析】设，，，，则，，，，.所以，当且仅当，时等号成立.所以的的最小值是.故选：B8．（多选题）【答案】ABC【解析】对于A，，与同向或反向，或，A错误；对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，D正确.故选：ABC.9．（多选题）【答案】AC【解析】因为，，为单位向量，所以，由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以； 对于A，，故A正确；对于B，因为，所以为反向共线的向量，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以D错误；故选：AC.10．（多选题）【答案】AC【解析】根据题意得，设A，B的中点为，则，故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；，故，当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，与垂直的充要条件是，故D不正确.故选：AC．11．（多选题）【答案】AB【解析】选项A：若，则，，则四边形为平行四边形.判断正确；选项B：若，则，，则四边形为梯形. 判断正确；选项C：若，则，则，即.仅由不能判定四边形为菱形.判断错误；选项D：若，则，，则四边形为平行四边形，又由，可得对角线，则平行四边形为菱形. 判断错误.故选：AB12．（多选题）【答案】BC【解析】因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以∥故选：BC．13．（多选题）【答案】BC【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,由正弦定理得 ，故,故A错误；对于B,由得，，即,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故，B正确；对于C，设，的夹角为 ，由得，，即 ，解得 或，由于，故，故，则，的夹角为，C正确；对于D,由 得，即，则为圆O的一条直径，D错误，故选:BC14．（多选题）【答案】AC【解析】解：因为，所以,又三点共线，所以. 所以选项A正确，选项B错误；，所以（当且仅当时等号成立），所以选项C正确；因为，（当且仅当时等号成立）所以，所以选项D错误.故选：AC15．【答案】【解析】都为直角三角形，，∴，，，解得，∴，∴．故答案为：.16．【解析】设，，由得，解得，假设存在，设，当A为直角顶点时，，有，解得；当D为直角顶点时，，有，解得；当P为直角顶点时，，有，解得；故或或或.  1．【答案】B【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．2．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D3．【答案】A【解析】连结，则为的中位线，，故选：A4．【答案】C【解析】故选：C5．【答案】B【解析】由题意，．故选：B6．【答案】【解析】由题意知：，解得.故答案为：.7．【答案】【解析】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．8．【答案】.【解析】,，解得,故答案为：.9．【答案】【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.10．【答案】5【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.11．【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：12．【答案】     0     3【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.