考向11 对数与对数函数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
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考向11 对数与对数函数 【2022·全国·高考真题(文)】已知,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知,再利用基本不等式,换底公式可得,,然后由指数函数的单调性即可解出.【详解】由可得,而,所以,即,所以.又,所以,即,所以.综上,.故选:A.【2022·全国·高考真题】设,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数, 导数判断其单调性,由此确定的大小.【详解】设,因为,当时,,当时,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,所以,故,即,所以,所以,故,所以,故,设,则,令,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,又,所以当时,,所以当时,,函数单调递增,所以,即,所以故选:C. 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.|3.,且是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.4.识别对数函数图象时,要注意底数以1为分界:当时,是增函数;当时,是减函数.注意对数函数图象恒过定点,且以轴为渐近线.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.6.比较对数值的大小(1)若对数值同底数,利用对数函数的单调性比较(2)若对数值同真数,利用图象法或转化为同底数进行比较(3)若底数、真数均不同,引入中间量进行比较7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:(1)求出函数的定义域;(2)判断对数函数的底数与1的大小关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,若涉及其单调性,就必须对底数进行分类讨论;(3)判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 1.换底公式的两个重要结论(1)(2).其中,且,且.2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大3.对数函数,且的图象过定点,且过点,函数图象只在第一、四象限.1.对数式的运算(1)对数的定义:一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数,记作,读作以为底的对数,其中叫做对数的底数,叫做真数.(2)常见对数:①一般对数:以且为底,记为,读作以为底的对数;②常用对数:以为底,记为;③自然对数:以为底,记为;(3) 对数的性质和运算法则:①;;其中且;②(其中且,);③对数换底公式:;④; ⑤;⑥,; ⑦和; ⑧;2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义:函数 且叫做对数函数.对数函数的图象 图象 性质定义域:值域:过定点,即时,在上增函数在上是减函数当时,,当时,当时,,当时, 1.(2022·全国·模拟预测)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.2.(2022·河南·模拟预测(文))已知,,,则( )A. B. C. D.3.(2022·全国·模拟预测(文))已知,用科学记数法表示为,则的值约为( )A.8 B.9 C.10 D.114.(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出下列三个函数:,,,则( )A.,,为“同形”函数B.,为“同形”函数,且它们与不为“同形”函数C.,为“同形”函数,且它们与不为“同形”函数D.,为“同形”函数,且它们与不为“同形”函数5.(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知对数函数的图像经过点与点,,,,则( )A. B. C. D.6.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则( )A. B. C. D.7.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.8.(2022·福建·三明一中模拟预测)写出一个满足对定义域内的任意x,y,都有的函数:___________. 1.(2022·河南安阳·模拟预测(理))已知,则( )A. B. C. D.2.(2022·青海·模拟预测(理))设,,,则a、b、c的大小关系为( )A. B.C. D.3.(2022·江苏无锡·模拟预测)已知,则,,的大小为( )A. B. C. D.4.(2022·全国·模拟预测)“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量,其计算公式为,其中i表示所有可能的微观态,表示微观态i出现的概率,为大于0的常数.则在以下四个系统中,混乱程度最高的是( )A. B.,C. D.,,5.(2022·辽宁实验中学模拟预测)已知实数,满足,则的最小值为( )A. B. C. D.不存在6.(2022·全国·模拟预测(理))已知,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.7.(2022·北京·北大附中三模)已知函数,则不等式的解集是( )A. B.C. D.8.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)已知是奇函数,当时,,则的解集为( )A. B.C. D.9.(2022·全国·哈师大附中模拟预测(理))函数,其中,记,则( )A. B.C. D.10.(2022·吉林·东北师大附中模拟预测(理))已知函数,若,且,则的取值范围是______.11.(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若,,,则的最小值为___________.12.(2022·云南师大附中模拟预测(理))给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的序号是______.13.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数,若对任意,存在使得恒成立,则实数a的取值范围为____________.14.(2022·四川·内江市教育科学研究所三模(文))已知函数,数列是公差为2的等差数列,若,则数列的前项和___________.15.(2022·山西运城·模拟预测(文))若,则__________. 1.(2022·全国·高考真题(文))已知,则( )A. B. C. D.2.(2022·全国·高考真题)设,则( )A. B. C. D.3.(2022·浙江·高考真题)已知,则( )A.25 B.5 C. D.4.(2021·天津·高考真题)设,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.5.(2020·全国·高考真题(理))若,则( )A. B. C. D.6.(2020·全国·高考真题(文))设,则( )A. B. C. D.7.(2019·天津·高考真题(理))已知,,,则的大小关系为A. B.C. D.8.(2019·全国·高考真题(文))已知,则A. B. C. D.9.(2019·全国·高考真题(理))若a>b,则A.ln(a−b)>0 B.3a<3bC.a3−b3>0 D.│a│>│b│10.(2016·全国·高考真题(理))已知,,,则A. B.C. D.11.(2018·天津·高考真题(文))已知,则的大小关系为A. B. C. D.12.(2016·全国·高考真题(文))已知,则A. B.C. D.13.(2016·全国·高考真题(文))若a>b>0,0<c<1,则A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb14.(2016·浙江·高考真题(理))已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=___,b=____.15.(2015·北京·高考真题(文)),,三个数中最大数的是 . 1.【答案】C【解析】由,,可得.故选:C.2.【答案】D【解析】因为,,,所以.故选:D.3.【答案】B【解析】因为,,所以,所以,所以,又无限接近于,所以.故选:B.4.【答案】A【解析】解:,,故,的图象可分别由的图象向左平移个单位、向右平移1个单位得到,故,,为“同形”函数.故选:A.5.【答案】C【解析】设,由题意可得:,则∴,,∴故选:C.6.【答案】A【解析】令,,是R上的奇函数,,即,又,所以.故选:A.7.【答案】1【解析】由题意,,即,所以,化简得,解得.故答案为:18.【答案】(答案不唯一)【解析】若函数,则满足题意,故答案为:(答案不唯一) 1.【答案】D【解析】函数在上单调递增,,则,函数在R上单调递减,,,而,所以.故选:D2.【答案】A【解析】函数在上都是增函数,,即,,则,函数在R上单调递增,而,则,所以.故选:A3.【答案】C【解析】令函数,当时,求导得:,则函数在上单调递减,又,,,显然,则有,所以.故选:C4.【答案】C【解析】对选项逐一验证(不考虑负号和玻尔兹曼常数).A选项:系统的混乱程度;B选项:系统的混乱程度;C选项:系统的混乱程度;D选项:系统的混乱程度,所以,,,所以最小,从而C选项对应的系统混乱程度最高.故选:C.5.【答案】A【解析】又,则当且仅当即时取等号故选:A6.【答案】D【解析】因为,所以,对于A:,,所以,故A错误;对于B:,所以在上为增函数,又,所以,故B错误;对于C:,因为,,所以,所以,故C错误;对于D:,因为,,所以,即,故D正确.故选:D7.【答案】D【解析】解:依题意,等价于,在同一坐标系中作出,的图象,如图所示: 如图可得的解集为:.故选:D.8.【答案】C【解析】因为是奇函数,当时,;所以当时,;当时,则,所以.因为是奇函数,所以,所以.即当时,.综上所述:.令,则,所以不等式可化为:.当时,不合题意舍去.当时,对于.因为在上递增,在上递增,所以在上递增.又,所以由可解得:,即,解得:.故选:C9.【答案】A【解析】,∴, ,∴,故选:A.10.【答案】【解析】的图象如图,因为,所以,因为,所以,,所以,所以,所以,所以,所以,则,所以,令,则,当时,,所以在上递减,所以,所以,所以的取值范围为,故答案为:11.【答案】【解析】∵,∴,,,∴,∴,当且仅当,即,时取等号,∴的最小值为,故答案为:12.【答案】①②④【解析】构造函数,所以,得,当时,;当时,,于是在上单调递增,在上单调递减. 对于①,,即,又,据的单调性知成立,故①正确;对于②,,因为,所以,即,又,据的单调性知成立,故②正确;对于③,,即,又,据的单调性知成立,故③错误;对于④,,即,又,据的单调性可知成立,故④正确. 故答案为:①②④.13.【答案】【解析】根据题意可得只需即可,由题可知a为对数底数且或.当时,此时在各自定义域内都有意义,由复合函数单调性可知在上单调递减,在上单调递减,所以,,所以,即,可得;当时,由复合函数单调性可知在上单调递减,在上单调递增,所以,,所以,即,可得.综上:.故答案为:.14.【答案】【解析】由且定义域为R,所以为偶函数,而,当时等号成立,所以在R上恒成立,故要使,又是公差为2的等差数列,所以,则,故.故答案为:.15.【答案】##【解析】由,两边取以为底的对数,得,即.由,令,则,所以,即.设,则,所以在上单调递增.由以及,则,又,所以.故答案为:. 1.【答案】A【解析】由可得,而,所以,即,所以.又,所以,即,所以.综上,.故选:A.2.【答案】C【解析】设,因为,当时,,当时,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,所以,故,即,所以,所以,故,所以,故,设,则,令,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,又,所以当时,,所以当时,,函数单调递增,所以,即,所以故选:C.3.【答案】C【解析】因为,,即,所以.故选:C.4.【答案】D【解析】,,,,,,.故选:D.5.【答案】A【解析】由得:,令,为上的增函数,为上的减函数,为上的增函数,,,,,则A正确,B错误;与的大小不确定,故CD无法确定.故选:A.6.【答案】B【解析】由可得,所以,所以有,故选:B.7.【答案】A【解析】利用等中间值区分各个数值的大小.【详解】,,,故,所以.故选A.8.【答案】B【解析】则.故选B.9.【答案】C【解析】取,满足,,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C.10.【答案】A【解析】【详解】因为,,,因为幂函数在R上单调递增,所以,因为指数函数在R上单调递增,所以,即b<a<c.故选:A.11.【答案】D【解析】【详解】分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.12.【答案】A【解析】【详解】因为,且幂函数在 上单调递增,所以b<a<c.故选A.13.【答案】B【解析】【详解】试题分析:对于选项A,,,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,,,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质14.【答案】 【解析】【详解】试题分析:设,因为,因此指数运算,对数运算.在解方程时,要注意,若没注意到,方程的根有两个,由于增根导致错误15.【答案】【解析】【详解】,,,所以最大.