考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向17  平面向量的概念及线性运算

1．（2022新高考1卷第3题）在中，点在边上，．记，，则

A．         B．       C．        D．

【答案】B

【解析】因为，又因为，所以，即．故选B．

2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在中，为边上的中线，为的中点，则　　

A． B． C． D．

3．（2020江苏第13题）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是             ．

【答案】

【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，

故，，故，故．

在中，；在中，由正弦定理得，

即．

1.平面向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．

(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　

2.向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．　

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

3.共线向量定理的应用

（1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线

（2）证明三点共线若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线

（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值

1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)

2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．

1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．

2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．

3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．

1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)

A.a＋b　　　 B．a－b     C．－a－b     D．－a＋b

【答案】D

【解析】＝＝(－)＝(b－a)＝－a＋b.

2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)

A．a＝－b     B．a∥b     C．a＝2b      D．a∥b且|a|＝|b|

【答案】C

【解析】因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．

3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)

A.－     B．2－2    C.－     D．2－2

【答案】D

【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D.

4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)

A.－    B．＋   C.－     D．＋

【答案】C

【解析】因为E为DC的中点，所以＝.因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－，故选C.

5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A.     B．     C．－     D．－

【答案】A

【解析】由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝，故选A.

6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)

A．△ABC的内部  B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上  D．BC边所在直线上

【答案】B

【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．

7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　)

A.＝    B．＝   C．BP＝－    D．＝

【答案】ABC

【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．

8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)

A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e

B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0

C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)

D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b

【答案】AB

【解析】对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量， 故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.

9．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．

【答案】-4

【解析】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得＝k，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，

又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得λ＝－4.

10．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)

【答案】b－a　－a－b

【解析】如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.

一、单选题

1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】．

故选：B.

2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为与共线，所以，，

所以，

因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，

故选：C．

3．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为O，A，B三点共线，则

所以，，即

整理得：

又∵向量，不共线，则，则

故选：A．

4．（2022·全国·模拟预测（理））在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）

A．9 B．8 C．4 D．2

【答案】A

【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），

所以，

故，

当且仅当，即时等号成立，

故选：A

5．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（       ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【解析】，是平面内两个不共线的向量，

，，

由A，B，C三点共线，则，则

则有，则有

则

（当且仅当时等号成立）

故选：A

6．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，

E为BC中点，则有，而D是的中点，

所以.

故选：D

7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

所以.

故选：C.

8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示：

.

故选：A.

9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【解析】

作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，

设，则，

∵BC//EF，∴设，则

∴，

∴

∴

故选：A.

10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆的直径，P为圆上的点，则（       ）

A．4 B． C．8 D．

【答案】C

【解析】设圆柱的高为，底面半径为

若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，

则：，

因为AB为圆的直径，P为圆上的点，所以在中，为AB中点

又在中，，且，则

如图：为圆柱的一个轴截面

所以

故选：C.

11．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点，，

因，由黄金分割比可得，

于是得，即有，

同理有，而，即，

从而有，

所以.

故选：D

12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，，故A正确，

对于B：因为，，所以，故B正确，

对于C：由题意是的外心，不是的重心

设中点为，则，

，故C错误，

对于D：，故D正确．

故选：C

二、多选题

13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【解析】

因为为正六边形，即每个内角都为

对于A，,故A错误.

对于B，连接,，则为等边三角形，设六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以

即，故B正确.

对于C，由B选项可知，

且，故C正确.

对于D，因为，所以在上的投影向量为

故D，正确.

故选:BCD.

14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（　　）

A．若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线

B．已知向量，若，则为钝角.

C．若G为△ABC的重心，则

D．若，△ABC一定为等腰三角形

【答案】AC

【解析】对于A，由，所以，即，所以共线，因为有公共端点，所以A．B，C三点共线，所以A正确，

对于B，当时，，此时，则的夹角为，不是钝角，所以B错误，

对于C，延长，交于，因为G为△ABC的重心，所以为的中点，，

所以，所以，所以，所以C正确，

对于D，因为，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，

故选：AC

三、填空题

15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________．

【答案】

【解析】都为直角三角形，

，∴，，

，解得，

∴，

∴．

故答案为：.

16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点在椭圆上，不在坐标轴上，，，，，直线与交于点，直线与轴交于点，设，，则的值为______．

【答案】1

【解析】：设直线的直线方程为，联立椭圆方程化简得，

所以或，当时，，

所以.当时，，所以，

所以，所以直线的方程为

当时，所以. 所以，

因为，，

所以，

所以.

故答案为：1

1.（2015）设D为ABC所在平面内一点，则(     )

A.  B.

C.   D.

【答案】A

【解析】由题意得．故选A

2．（20181）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=(    )

A． -   B．  -   C． +   D．  +

【答案】B

【解析】故选A

3.中，点在上，平分．若，，，，则(     )

A.      B.      C.      D.

【答案】B

【解析】

,故选B

4.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，

则（   ）

A．        B．       C．          D．

【答案】A

【解析】,故选A

5.（20132）已知正方形的边长为,为的中点,则   ．

【答案】2

【解析】在正方形中，,,

所以

6.（20173）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（   ）

A．3  B．2  C．    D．2

【答案】3

【解析】如图建立直角坐标系，则，，  ，，由等面积法可得圆的半径为，

所以圆的方程为，

所以，，，

由，得，所以=，

设，即，

点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，

所以，解得，所以的最大值为3，

7.在所在平面内有一点O，满足，，则等于_______.

【答案】3

【解析】

又，

，故答案为3

8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则=         ．

【答案】3

【解析】由可得，，由=+得，即，两式相加得，，所以，所以．

9．(2015北京)在中，点，满足，，若，则         ；       ．

【答案】 

【解析】由 =．所以，．