考向06 函数及其表示（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（原卷版）

考向06 函数及其表示

【2022·北京·高考真题】设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

【答案】     0（答案不唯一）     1

【解析】

【分析】

根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，   解得 .

【详解】

解：若时，，∴；

若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；

若时，

当时，单调递减，，

当时，

∴或，

解得，

综上可得；

故答案为：0（答案不唯一），1

【2022·浙江·高考真题】已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．

【答案】          ##

【解析】

【分析】

结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.

【详解】

由已知，，

所以，

当时，由可得，所以，

当时，由可得，所以，

等价于，所以，

所以的最大值为.

故答案为：，.

1.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.

2.函数解析式的常见求法

(1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换.

(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可.

(3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.

(4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出．

3.分段函数

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．

(2)当出现的形式时，应从内到外依次求值．

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。

1.复合函数：

一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数.

2.抽象函数的定义域的求法：

(1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出.

(2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.

1.函数的概念

(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为，

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

2.基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切的定义域是且；

（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

3.基本初等函数的值域

(1)的值域是.

(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．

(3)的值域是.

(4)且的值域是.

(5)且的值域是.

4.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．

1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（       ）

A．25 B．52 C．log52 D．log25

3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数，则的解集为______．

4．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知函数若，则实数__________.

5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.

6．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______

8．（2022·浙江湖州·模拟预测）若函数，则_____________，不等式的解集是_____________．

1．（2022·上海交大附中高三阶段练习）存在函数满足，对任意都有（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（       ）

A．25 B．52 C．log52 D．log25

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（       ）

A．， B．， C．， D．，

4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则（       ）.

A． B． C． D．

6．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 ，若，则（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·江苏泰州·模拟预测）设函数，若，则实数a的值为（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____.

9．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．

10．（2022·北京·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.

11．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则的值为___________.

12．（2022·上海市实验学校模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．

13．（2022·全国·高三专题练习（文））定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.

14．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.

15．（2022·全国·高三专题练习）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________．

①；②；③；④．

16．（2022·全国·高三专题练习）已知，则=_____.

17．（2022·山东淄博·三模）设．若，则__________．

1．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

2．（2019·天津·高考真题（文））已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为

A． B． C． D．

3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．

4．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.

5．（2019·江苏·高考真题）函数的定义域是_____.

6．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.

7．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

8．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．

1．【答案】B

【解析】因为，所以，令，则，

所以，因此，.

故选：B.

2．【答案】D

【解析】．∴，∴，

故选：D．

3．【答案】

【解析】解：因为且，

所以或，

解得或，

综上可得原不等式的解集为；

故答案为：

4．【答案】##1.5

【解析】令，

则当时，，解得；

当时，，解得

所以当，此时，有，解得，不满足条件；

当，若，则，解得，此时不满足条件；

当，则，解得

故答案为：．

5．【答案】

【解析】的定义域是，则，

即函数的定义域为，

令，解得.

则函数的定义域为.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】解：因为，令，则，则，所以，，所以在上单调递增，所以，即的值域为；

故答案为：

7．【答案】

【解析】令，则，且，

所以，

所以，

故答案为：.

8．【答案】     3     ．

【解析】因为，

所以，所以.

当时，，得，得；

当时，恒成立，

所以不等式的解集是.

故答案为：3；.

1．【答案】B

【解析】对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；

对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；

对C，取，有；取，有，故C错误；

对D，取得，再取可得，故D错误

故选：B

2．【答案】D

【解析】．∴，∴，

故选：D．

3．【答案】C

【解析】令得，即为函数的定义域，

而将函数的图象向左平移2个单位即得的图象，

故其值域不变．

故选：C．

4．【答案】B

【解析】对于①，因为，则，①不满足条件；

对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；

对于③，因为，则，③满足条件；

对于④，因为，，则，④满足条件.

故选：B.

5．【答案】B

【解析】解：因为，所以的图象关于对称，

而关于对称，

所以，.

故选：B.

6．【答案】C

【解析】∵，,

∴当时， ，解得；

 当时，，解得,即（舍去），

∴,

故选:C

7．【答案】B

【解析】令，，则

1°时，，则无解．

2°时，，∴，∴

时，，则；时，无解

综上：.

故选：B．

8．【答案】

【解析】设，

令得：；

令得：，

因为为定义在上的增函数，

所以，

当时，由矛盾.

故.

故答案为：

9．【答案】

【解析】解：因为，令，则，则，所以，，所以在上单调递增，所以，即的值域为；

故答案为：

10．【答案】1

【解析】如果 ， ，其值域为 ，

，不符合题意；

如果 ，当 时， ，

就是把函数的部分 以x轴为对称轴翻折上去，

∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为 ，

所以 ，不妨取 ；

故答案为：1.

11．【答案】##

【解析】解：要使函数有意义，则，解得，

，

，

即，

，

当时，有最大值，即，

当或时，有最小值，即，

，

故答案为：.

12．【答案】

【解析】解：

当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），

根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，

解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；

同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；

当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：

x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．

当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：

x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，

综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．

故答案为：

13．【答案】

【解析】根据题意，对，有

又是定义在R上的单调增函数

R上存在常数a使得

，，解得

故答案为：.

14．【答案】答案不唯一

【解析】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数，

又因为在上是减函数且，

所以满足条件的一个函数可取，

故答案为：(答案不唯一).

15．【答案】④

【解析】①当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；

②当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；

③当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；

④令，所以，令，所以，

所以，所以，符合，

故答案为：④.

16．【答案】或

【解析】解：

，

或．

故答案为：或．

17．【答案】

【解析】由在上递增，在上递增，

所以，由，则，

故，可得.

故答案为：

1．【答案】B

【解析】由题知：，解得且.

所以函数定义域为.

故选：B

2．【答案】D

【解析】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，

或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．

即，即，

或者，得，，即，得，

所以的取值范围是．

故选D．

3．【答案】

【解析】解：因为，所以，解得且，

故函数的定义域为；

故答案为：

4．【答案】2

【解析】，故，

故答案为：2.

5．【答案】.

【解析】由已知得,

即

解得，

故函数的定义域为.

6．【答案】.

【解析】当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；

当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.

综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.

7．【答案】     0（答案不唯一）     1

【解析】解：若时，，∴；

若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；

若时，

当时，单调递减，，

当时，

∴或，

解得，

综上可得；

故答案为：0（答案不唯一），1

8．【答案】         

【解析】由已知，，

所以，

当时，由可得，所以，

当时，由可得，所以，

等价于，所以，

所以的最大值为.

故答案为：，.