2.2待定系数法求二次函数解析式 教案

待定系数法求二次函数解析式

课首沟通

1. 二次函数的解析式有几种？标准格式分别是怎样的？
2. 二次函数的解析式各有什么特征？怎样根据题目条件求解析式？

知识导图

课首小测

1. 已知二次函数图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求二次函数解析式.

2. 已知二次函数图像的顶点是（-2，3），且过点（-1，5），求二次函数解析式.

3. 已知二次函数图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且顶点为（1， ），求二次函数解析式.

4. 
   二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：

(1) 对称轴为          ；

(2) 函数解析式          ；

(3) 当x     时，y随x增大而减小；

(4) 由图象回答：当y＞0时，x的取值范围      ；当y＝0时，x＝     ；当y＜0时，x的取值范围     ．

5. 已知二次函数 ( )中自变量 和函数值 的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为                 ．

知识梳理

二次函数的解析式相关：

二次函数三种解析式： 一般式：y=ax2+bx+c (a(0)； 顶点式：y=a(x(h)2+k (a(0)；

交点式：y=a(x(x1)( x(x2) (a(0) 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 待定系数法求解析式：根据题目条件设置适当的解析式；

将题目相关点坐标或者相关条件代入解析式，建立相关等量关系（即方程或者方程组）； 解方程或者方程组，求出相关字母系数；

最后写出相关解析式.

如何灵活设置解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c； 已知图像的顶点或对称轴，最值，通常选择顶点式y=a(x(h)2+k；

已知图像与x轴的交点横坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x- x1）（x- x2）.

导学一 ： 待定系数法求二次函数一般式

知识点讲解 1：二次函数一般式y=ax2+bx+c (a(0)

待定系数法求一般式步骤： 根据题目条件设置解析式y=ax2+bx+c；

将题目相关点或者相关条件代入解析式，建立关于a，b，c，的方程组；

解方程组，求出a，b，c；

最后写出相关解析式：y=ax2+bx+c.

例 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．

例 2. 已知二次函数的图像经过点A 、B 、C ，求二次函数的解析式。

例 3. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，

3)是否在这个函数的图象上．

例 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．

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1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，6)，(1，0)，(4，6)三点，求抛物线的解析式．

2. 已知 是x的二次函数，已知当x为 ,0, 时, 相应的y分别为5, , ，求此二次函数的解析式.

)中自变量 和函数值 的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为           ．

4. 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每千克的批发价y（元）是上市时间x

(天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：

（1）  求y与x的函数关系式；

（2）  大蒜每千克的批发价为10.8元时，问此时大概是在上市的多少天？

导学二 ： 待定系数法求二次函数顶点式

知识点讲解 1：二次函数顶点式y=a（x-h）2+k (a≠0)

待定系数法求一般式步骤： 根据题目条件设置解析式y=a（x-h）2+k；

将题目相关点或者相关条件代入解析式，建立关于a，h，k的方程； 解方程，求出a，h，k；

最后写出相关解析式：y=a（x-h）2+k.

例 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．

例 2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．

例 3. 已知二次函数顶点坐标为(－3，－2)，且与直线y＝2x＋6的交点在y轴上，求二次函数解析式．

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1. 已知抛物线的顶点为(1，4)，且过(0，3)点，求抛物线的解析式．

2. 已知抛物线的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．

3. 
   已知二次函数自变量 和函数值 的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为           ．

4. 已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，且函数有最小值是-4。

（1）  求二次函数的解析式；

（2）  设二次函数与y轴的交点为C，求△ABC的面积。

导学三 ： 待定系数法求二次函数交点式

知识点讲解 1：二次函数交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

待定系数法求一般式步骤： 根据题目条件设置解析式y=a(x-x1)(x-x2)；

将题目相关交点或者相关条件代入解析式，建立关于a的方程； 解方程，求出a；

最后写出相关解析式：y=a(x-x1)(x-x2).

例 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．

例 2. 已知抛物线过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且与x轴的两个交点之间的距离为4，求抛物线解析式。

例 3. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：

（1）  根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；

（2） 
若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？

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1. 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2,0），B（1，0），且经过点C（2，8）.

（1）  求该抛物线的解析式；

（2）  求该抛物线的顶点坐标.

2. 
   已知二次函数自变量 和函数值 的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为           ．

3. 已知二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是8。

（1）  求二次函数的图象的解析式；

（2）  设次二次函数与y轴交点为P，求△ABP的面积。

限时考场模拟 ： 20分钟完成

1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当  x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．则二次函数解析式为            ．

2. 已知二次函数图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，则二次函数的解析式为                .

3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(10，0)两点，其顶点纵坐标是5，则抛物线的解析式为             ．

4. 若一抛物线与 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为               。

5. 已知二次函数为x＝4时有最小值  -3，且它图象与x轴交点的横坐标为1，则二次函数解析式为            ．

6. 二次函数y＝x2－mx＋m－2的图象的顶点到x轴的距离为 则二次函数解析式为                 ．
7. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（-2,0），B（0，-4），C（2，-4）三点，且与 轴的另一个交点为E．

（1）  求抛物线的解析式；

（2）  求抛物线的顶点D的坐标和对称轴；

（3） 
求四边形ABDE的面积．

【学有所获】不规则图形的面积有哪些方法？

学有所获答案：割补法，铅锤法。

8. 已知抛物线y = ax2－x+c经过点Q（－2，），且它的顶点P横坐标为－1．设抛物线与x轴交于A、B两点，

（1）  求抛物线的解析式；

（2）  求A、B两点的坐标；

（3）  设抛物线与y轴交于C点，求△ABC的面积．

课后作业

1. 抛物线经过三点（－1,0），（2，－6），（－2,10），则抛物线解析式为          .

2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，则抛物线的解析式为                 ．

3. 已知二次函数当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，则函数解析式为                ．

4. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)，且与x轴只有一个交点．则二次函数的解析式为                 .

5. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(-1，0)，(3，0)，（0，-3），则抛物线的解析式为          ．

6. 二次函数y=ax2+bx+c的图像过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。

（1）    求函数解析式；

（2） 若图像与x轴交于A、B（A在B左侧）与y轴交于C, 顶点D，求四边形ABCD的面积。

7. 如图，已知二次函数y＝ax2-4x＋c的图像经过点A（-1，-1）和点B（3，-9）．

（1）  求该二次函数的表达式；

（2）  写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

8. 已知：抛物线的对称轴为与 轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3,0），C（0，-2）.

（1）  求这条抛物线的函数表达式．

（2）  已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

【学有所获】在已知直线上找点到已知两点距离之和最小的方法是什么？

学有所获答案：若两点在直线同侧，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另外一点，与直线交于 一点，即为所求点；若两点在直线异侧，则直接连接两点与直线形成交点即可。

1. 复习讲过的典型例题，牢记解题规律和格式；
2. 认真完成指定作业。

课首小测

1.y=-2x2+3x+1.

解析:设函数解析式为y=ax2+bx+c

∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1）,代入解析式得：c=1，a+b+c=2，4a+2b+c=-1 ， 解之得a=-2，b=3，c=1；∴函数解析式为y=-2x2+3x+1.

2. y=2（x+2）2+3.

解析:设函数解析式为y=a（x+2）2+3，

∵函数过点（-1，5）

∴5=a（-1+2）2+3，解之得a=2

∴函数解析式为y=2（x+2）2+3. 3.y=  x2-x-4.

解析:设函数解析式为y=a（x+2）（x-4），

∵函数图像过顶点（1， ）

∴ =a（1+2）（1-4），解得a=

∴函数解析式为y= （x+2）（x-4），即 y=  x2-x-4

4.（1）直线x=-1；（2）y=x2+2x-3；（3） -1；（4）x -3或者x ，-3或1，-3 x 1.

5. .

解析:由表格可知，二次函数的顶点为（- ），所以可设解析式为y=a  ，再将（0，-2）代入可得

a=1，所以解析式为 .

导学一

知识点讲解 1：二次函数一般式y=ax2+bx+c (a(0) 例题

1. .

解析:将三点坐标代入解析式，即可得到关于a，b，c的方程组，解方程组可求出a= ，b= ，c=4，所以解析式为

.

解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将三点坐标代入可得到关于a，b，c的方程组，解方程组可求出a=  ，b=

，c= ，所以解析式为 . 3. y=x2-2x+3，（0,3）在函数图象上.

解析:由题意可知二次函数还经过A(－2，5)和（2，-3）两点，将这两点代入y＝x2＋bx＋c，可求出b=-2，c=-3，所以解 析式为y=x2-2x+3，令x=0，则y=3，所以（0,3）在函数图象上.

4. y=-2x2+4x+4.

解析:由题意可知 ，再将(－1，－2)，(1，6)代入，可求出a=-2和1，因为函数具有最大值，所以a=-2，

b=4，c=4，所以解析式为y=-2x2+4x+4.

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1. y=2x2-8x+6.

解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将(0，6)，(1，0)，(4，6)三点坐标代入可得到关于a，b，c的方程组，解方 程组可求出a=2，b=-8，c=6，所以解析式为y=2x2-8x+6.

2. y=x2-2x-3.

解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意可知二次函数图像过（-2,5），（0，-3），（1，-4）这三点，代入 解析式可求得a=1，b=-2，c=-3，所以二次函数解析式为y=x2-2x-3.

3. y=2x2+4x-6.

解析:设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由图表可知二次函数图像过（-1，-8），（1,0），（2,10）三点，代入解析 式可求得a=2，b=4，c=-6，所以解析式为y=2x2+4x-6.

4.（1）y= x2 x+ ；

（2）大概是上市的第11天或者第19天.

解析:（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，由图表可知二次函数图像过（5，15），（15,10），（25,15）三点， 代入解析式可求得a= ，b= ，c= ，所以解析式为y= x2 x+ ；

（2）在y= x2 x+ 中，令y=10.8，即 x2 x+ =10.8，解得x=11或者19，所以大概是上市的第11天或者第19天.

导学二

知识点讲解 1：二次函数顶点式y=a（x-h）2+k (a≠0) 例题

1. y=-2（x-2）2+4.

解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k. 顶点为(2，4)代入解析式得y=a（x-2）2+4，再将（1,2）代入可求得a=-2，所以解析式为y=-2（x-2）2+4.

2. y= （x-6）2+3.

解析:由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（6,3），设解析式为y=a（x-6）2+3，再将（0,0）代入求得a=

，所以解析式为y= （x-6）2+3. 3. y=（x+3）2-2.

解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k，将顶点代入得y=a（x+3）2-2，在直线y＝2x＋6中，令x=0，则y=6，由题意二次 函数与直线的交点为（0,6），将（0,6）代入y=a（x+3）2-2可求得a= ，所以解析式为y= （x+3）2-2.

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1. y=-（x-1）2+4.

解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k. 顶点为(1，4)代入解析式得y=a（x-1）2+4，再将（0,3）代入可求得a=-1，所以解析式为y=-（x-1）2+4.

2. y= -（x-2）2+4.

解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k. 顶点为(2，4)代入解析式得y=a（x-2）2+4，再将（0,0）代入可求得a=-1，所以解析式为y= -（x-2）2+4.

3. y=-2（x-1）2+3.

解析:由表格可知，二次函数的顶点为（1,3），所以可设解析式为 y=a（x-1）2+3 ，再将（0，1）代入可得a=-2，所以解析式为y=-2（x-1）2+3.

4.（1）y=（x+1）2-4；

（2）△ABP的面积为s= .

解析:（1）由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（-1,-4），设解析式为y=a（x+1）2-4，再将

（1,0）代入求得a=1，，所以解析式为y=（x+1）2-4；

（2）在y=（x+1）2-4中，令x=0，y=-3，所以C（0,-3），AB=1-（-3）=4，△ABP的面积为s= .

导学三

知识点讲解 1：二次函数交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 例题

1. y=x2- x+4.

解析:由题意设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，将(－3，0)，(1，0)两点代入得y=a(x+3)(x-1)，再将(0，4)代入可

求得a= ，所以解析式为y=  (x+3)(x-1)，去括号得y= x2- x+4. 2. y= x2- x- .

解析:因为对称轴是直线x=1，且与x轴的两个交点之间的距离为4，可求得两个交点为（3,0）和（-1,0），设二次函数解 析式为y=a(x-x1)(x-x2)，将（3,0）和（-1,0）代入得y=a(x-3)(x+1)，再将（1，-5）代入可求得a= ，所以解析式为y= (x-3)(x+1)，去括号得：y= x2- x- .

3.（1）y= x2+2；

（2）活动范围有 米.

解析:（1）由图像可知与x轴两个交点为（-2,0）和（2,0），顶点为（0,2），设解析式为y=a(x(x1)( x(x2)，代入

（-2,0）和（2,0）得y=a(x+2)(  x(2)，，再代入（0,2）可求得a=，所以解析式为y=  (x+2)( x(2)，去括号得：y= x2+2；

（2）由题意在y= x2+2中，令y=1.6，即 x2+2=1.6，解得x= ，则活动范围为 （米），在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有 米.

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1.（1）y=2x2+2x-4；

（2）顶点为（ ）.

解析:（1）由题意设二次函数解析式为y=a(x(x1)( x(x2)，将A（-2,0），B（1，0）代入得y=a(x+2)( x(1)，再将

C（2，8）代入可求得a=2，所以解析式为y=2(x+2)( x(1)，去括号得y=2x2+2x-4；

（2）由A（-2,0），B（1，0）可得对称轴为直线x= ，在y=2x2+2x-4中，令x= ，y= ，所以顶点为（ ）.

2.y=-x2-2x+3.

解析:由表格可知二次函数图像过（-3,0），（0,3），（1,0），所以设解析式为y=a(x(x1)( x(x2)，代入（-3,0）和

（1,0）得：y=a(x+3)( x(1)，再将（0,3）代入可求得a=-1，所以解析式为y=-(x+3)( x(1)，去括号得：y=-x2-2x+3. 3.（1）y=-2（x-1）2+8；

（2）ABP的面积为s= .

解析:（1）由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（1,8），设解析式为y=a（x-1）2+8，再将（-1,0）代入求得a=-2，，所以解析式为y=-2（x-1）2+8；

（2）在y=-2（x-1）2+8中，令x=0，y=6，所以P（0,6），AB=3-（-1）=4，△ABP的面积为s= .

限时考场模拟

1.y=1.5x2+0.5x.

解析:由题意可知二次函数经过（0,0），（1,2），（-1,1）三点，代入解析式可求得a=1.5，b=0.5，c=0，所以解析式 为y=1.5x2+0.5x.

2.y= （x+2）2+3.

解析:由题意设解析式为y=a（x-h）2+k，代入顶点得y=a（x+2）2+3，再代入（1,0）求得a=  ，所以解析式为y=

（x+2）2+3.    3.y= （x-5）2+5.

解析:由题意可知对称轴为直线x= ，所以顶点为（5,5），设解析式为y=a（x-5）2+5，再将（0,0）代入求得a=

，所以解析式为y= （x-5）2+5. 4.y= （x-1）2+5.

解析:由题意可知对称轴为直线x=1，因为抛物线与 轴两个交点间的距离为8，所以抛物线与x轴有（-3,0）和（5,0）两个交点，由此设解析式为y=a（x-1）2+5，再将（-3,0）代入，解得a= ，所以解析式为y= （x-1）2+5.

5.y= （x-4）2-3.

解析:由题意可知与x轴交点为（1,0），顶点为（4，-3），设解析式为y=a（x-4）2-3，将（1,0）代入解得a=  ，所以解析式为y= （x-4）2-3.

6.y=x2 - 或者 y=x2- 。

解析:∵二次函数y=x2-mx+m-2的图象的顶点到x轴的距离为 ，a=1＞0

∴抛物线开口向上，故  ；解得（2m-1）（2m-7）=0，m1= ，m2= ， 故函数解析式为y=x2 - 或者 y=x2-。

7.（1）y=1/2x2-x-4；

（2）顶点D为（1，-9/2），对称轴为x=1；

（3） S=1/2*2*4+1/2（4+9/2）*1+1/2*（4-1）*9/2=15.

解析:（1）将A,B,C三点代入得：4a-2b+c=0，c=-4,4a+2b+c=-4，解得：a=1/2，b=-1，c=-4，所以解析式为：y=1/2x2-x-4；（2）y= y=1/2x2-x-4=1/2（x-1）2-9/2，所以顶点D为（1，-9/2），对称轴为x=1；

（3）令=0，即y=1/2x2-x-4=0，解得x=4或-2，所以E（4,0），四边形ABDE的面积为： S=1/2*2*4+1/2（4+9/2）*1+1/2*（4-1）*9/2=15.

8.（1）y=-1/2x2-x+3/2；

（2）令y=0，即-1/2x2-x+3/2=0，解得x=-3或者1，所以A（-3,0），B（1,0）；

（3）令x=0，则y=3/2，所以三角形ABC的面积为：s=1/2*4*3/2=3.

解析:（1）由题意，将Q点代入得：4a+2+c=3/2 ，又因为顶点P横坐标为－1，所以1/2a=-1,解得：a=-1/2，

c=3/2，所以解析式为：y=-1/2x2-x+3/2；

（2）令y=0，即-1/2x2-x+3/2=0，解得x=-3或者1，所以A（-3,0），B（1,0）；

（3）令x=0，则y=3/2，所以三角形ABC的面积为：s=1/2*4*3/2=3.

课后作业

1.y=2x2-4x-6.

解析:设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，将三点代入得：a-b+c=0,4a+2b+c=-6,4a-2b+c=10，解得a=2，b=-4，c=-6，所以解析 式为：y=2x2-4x-6.

2.y=-（x-2）2+4。

解析:由题意可设y=a（x-2）2+4，又因为抛物线过原点，所以y=a（x-2）2+4，解得a=-1，所以解析式为：y=-（x-2）2+4。

3.y=（x+1）2-4。

解析:由题意可设解析式为y=a（x+1）2-4，因为图象在x轴上截得线段长为4，所以经过（1,0）和

（-3,0），代入（1,0）得：0=a（1+1）2-4，解得a=1，所以解析式为：y=（x+1）2-4。4.y=4/9x2-4/9x+1/9.

5.y=x2-2x-3。

6.（1）y=-x2-2x+3.

（2）四边形面积为：s=1/2*1*3+1/2*2*4+1/2（3+4）*1=9.

解析:（1）将（1，0）（0，3）代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0，c=3，-b/2a=-1，解得a=-1，b=-2，c=3，所以解 析式为：y=-x2-2x+3.

（2）由解析式可求得顶点D为（-1,4），令y=0，即-x2-2x+3=0，解得：x=-3或者1，可得A（-3,0），所以四边 形面积为：s=1/2*1*3+1/2*2*4+1/2（3+4）*1=9.

7.（1）y=x2-4x-6；（2）对称轴为x=2，顶点为（2，-10）.

8.（1）y=x2+2x-3；（2）P（-1，-2）. 解析:略