中考数学二轮培优专题精讲 第26讲 存在性问题之相似三角形

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【例题讲解】
例题1、如图，在直角坐标系中有两点，，如果点在轴上与不重合），当和相似时，点坐标为 ．
解：点在轴上，
两个三角形相似时，应该与对应，
若与对应，则，；
若与对应，则，或者．
点坐标为：，或．
故答案为：，或．
②如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么何时与相似？
解：当时，有即所以
当时，有即所以所以
例题2.将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已
知，，若以点、、为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ．
解：根据△与相似时的对应情况，有两种情况：
①△时，，
又因为，，，
所以，
解得；
②△时，，
又因为，，，，
所以，
解得．
故的长度是或2．
故答案为：或2．
例题3.如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、
匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两
点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，判断的形状，并说明理由；
（2）作交于点，连接，当为何值时，．
解：（1）是等边三角形
当时
，
又
是等边三角形；
（2）
，
是等边三角形
，
四边形是平行四边形
又，
，
，
解得
当时，．
例题4.如图，已知的三个顶点坐标分别为、、．
（1）求经过、、三点的抛物线解析式；
（2）设直线交轴于点，连接，求证：；
（3）设抛物线与轴交于点，连接交于点，试问以、、为顶点的三角形与相似吗？
解析：（1）设函数解析式为：，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得： ，CE=
，故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为，则，又∵AB=5，，∴，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似
例题5.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴与，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）把，代入，得
，
解得：．
抛物线的解析式为．
联立，
解得：或，
点的坐标为．
过点作轴于，如图1．，，
，，，，．
，，．
同理：，，
，
；
（Ⅱ）（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，
①如图2①，当时，则．
，，，
．
．
则．把代入，得：，
整理得：，解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得：，
整理得：，解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，
①当时，则，
同理可得：点的坐标为．
②当时，则．
同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，．
【巩固练习】
1、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，点D、E分别为AB、AC边上一动点，AD=1，当AE的长为多少时，A、D、E三点组成的三角形和△ABC相似？；
2.如图，直线与轴、轴分别交于点、，点、是直线与双曲线的两
个交点，过点作轴于点，且的面积为1．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）若在轴上有一动点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3.如图，矩形中，，，动点在边上，与点、不重合，过点作的垂线，交直线于点．设，．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
（2）当时，求的长．
（3）若直线与线段延长线交于点，当与相似时，求的长．
4.阅读理解：
如图1，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以
把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上
的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形中，，，且，，，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
5.如图，已知二次函数的图象过点，．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：是直角三角形；
（3）若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，某抛物线顶点坐标为与轴交于点，与轴交于、两点
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的对称轴与直线交于点，连接、，求的面积．
（3）点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，直线与轴、轴分别交于点、，经过、两点的抛物线
与轴的负半轴上另一交点为，且．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点的坐标；
（2）若点是射线上一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
8.如图，已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶
点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，连结．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点
落在的内部（不包括的边界），求的取值范围；
（3）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，请直接写出所有点的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
9.如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为．
（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
10.如图，已知抛物线的方程与轴相交于点、，与轴相交于点，且点在点的左侧．
（1）若抛物线过点，求实数的值；
（2）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
11、如图，已知抛物线是实数且与轴的正半轴分别交于点、（点位于点的左侧），与轴的正半轴交于点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 （用含的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点，使得，和中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.解：①如图1，∵∠A=∠A，∴当 时，△ADE和△ABC相似，
∴ ，解得：AE= ；
②如图2，∵∠A=∠A，∴当 时，△ADE和△ACB相似，
∴ ，解得：AE= ，综合上述：AE的长为 或 ；
2.解：（1）当时，，
．
点，
，
解得：或（舍去），
．
点在双曲线上，
，
双曲线的函数解析式为．
（2）为直角三角形，点在轴上，
点在点的下方，，
有存在两种情况（如图所示）
①当时，点与点重合，
此时点的坐标为；
②当时，设点的坐标为．
点在直线上，
，，
直线．
当时，，
．
，，
，，，，．
，
，即，
解得：，
此时点的坐标为．
综上可知：点的坐标为或．
3.解（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，∴∴，即
∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0