中考数学二轮培优专题精讲 第27讲 存在性问题之等腰三角形 (含详解)

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例题1.如图，直线l1、12相交于点A,点B是直线外一点,在直线l1、12上找一点C，使
△ABC为一个等腰三角形.满足条件的点C有 个.
【提示】
①以B为圆心,线段BA长为半径作圆,与l1、12交点即为满足条件点C；
②以A为圆心,线段BA长为半径作圆，与l1、12交点即为满足条件点C；
③作线段AB的垂直平分线，与l1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)
【巩固训练】
1、一次函数y= SKIPIF 1 < 0 x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在坐标轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C最多有 个。
2、已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
例题2. 一次函数y= SKIPIF 1 < 0 x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴上取一点C,使得AC=BC,求出C点坐标？【代数法、几何法均可解】
解：如图所示,直线AB的解析式为y= SKIPIF 1 < 0 x+4,
当y=0时,x=－3,则A(－3.0);当x=0时,y=4,则B(0,4)。
设C点坐标为(x.0),在Rt△AOB中,由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt△BOC中,由勾股定理得BC= SKIPIF 1 < 0 。
①当以AB为底时,AC=BC,则3+x= SKIPIF 1 < 0 ,整理得6x=7,解得x= SKIPIF 1 < 0 ,则( SKIPIF 1 < 0 ,0);
②当以BC为底时,可得AC=AB,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得x=2或－8,则C(2,0)或(－8,0);
③当以AC为底时,可得AB=BC,即得 SKIPIF 1 < 0 =5,整理得x2=9,解得x=±3,
则C(3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C的坐标是( SKIPIF 1 < 0 ,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)
例题3.如图,直线x=－4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=－4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1：3.
(1)求点A的坐标；
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
解:(1)如图过点D作DF⊥x轴于点F.由题意可知OF=AF则2AF+AE=4①
∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE,∴ SKIPIF 1 < 0 ,即AE=2AF②
①与②联立解得AE=2,AF=1.∴点A的坐标为(－2,0);
(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵抛物线过原点(0,0)和A点(－2,0),∴对称轴为直线x＝ SKIPIF 1 < 0 ＝－1
∵B、C两点关于直线x=－1对称B点横坐标为－4,∴C点横坐标为2,∴BC＝2－(－2)＝6
∵抛物线开口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC.
∴当△OBC是等腰三角形时分两种情况讨论:
①当OB=BC时设B(－4,y1),
则16+y12=36解得y1= SKIPIF 1 < 0 (负值舍去).
将A(－2,0),B(－4, SKIPIF 1 < 0 )代入y=ax2+bx
得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
∴此抛物线的解析式为y= SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x
②当OC=BC时设C(2,y2),则4+y22=36解得y2= SKIPIF 1 < 0 (负值舍去)
将A(－2,0),C(2, SKIPIF 1 < 0 )代入y=ax2+bx,
得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
∴此抛物线的解析式为y= SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x
例题4.如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0