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    中考培优竞赛专题经典讲义 第26讲 存在性问题之相似三角形

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    中考培优竞赛专题经典讲义 第26讲 存在性问题之相似三角形

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    这是一份中考培优竞赛专题经典讲义 第26讲 存在性问题之相似三角形,共33页。


    26存在性问题之相似三角形

    相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法,即将问题“何种情况下相似?”转化为“相似时能得到何种情况”

    【例题讲解

    例题1如图,在直角坐标系中有两点,如果点轴上不重合),当相似时,点坐标为  

    解:轴上,

    两个三角形相似时,应该与对应,

    对应,则

    对应,则或者

    点坐标为:

    故答案为:

    如图,在中,,动点从点开始沿边运动,速度为;动点从点开始沿边运动,速度为;如果两动点同时运动,那么何时相似?

     

     

    解:时,有所以

    时,有所以所以

     

    例题2.将三角形纸片按如图所示的方式折叠,使点落在边上,记为点,折痕为.已

    ,若以点为顶点的三角形与相似,那么的长度是  

    解:根据△相似时的对应情况,有两种情况:

    时,

    又因为

    所以

    解得

    时,

    又因为

    所以

    解得

    的长度是2

    故答案为:2

     

    例题3.如图,已知是边长为的等边三角形,动点同时从两点出发,分别沿

    匀速运动,其中点运动的速度是,点运动的速度是,当点到达点时,

    点都停止运动,设运动时间为,解答下列问题:

    1)当时,判断的形状,并说明理由;

    2)作于点,连接,当为何值时,

    解:(1是等边三角形

    是等边三角形;

    2

    是等边三角形

    四边形是平行四边形

    解得

    时,


    例题4.如图,已知的三个顶点坐标分别为

    1)求经过三点的抛物线解析式;

    2)设直线轴于点,连接,求证:

    3)设抛物线与轴交于点,连接于点,试问以为顶点的三角形与相似吗?

    解析:(1)设函数解析式为:,由函数经过点A40)、B10)、C26),
    可得,解得:,故经过ABC三点的抛物线解析式为:
    2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,由题意得:,解得:,即直线BC的解析式为.故可得点E的坐标为(02),从而可得: CE=

    ,故可得出AE=CE
     

    3)相似.理由如下:设直线AD的解析式为y=kx+b,则,解得:,即直线AD的解析式为.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:,即点F的坐标为,则,又AB=5,又∵∠ABF=CBA∴△ABF∽△CBA.故以ABF为顶点的三角形与ABC相似

     

    例题5.如图,抛物线与直线交于两点,交轴与两点,连接,已知

    (Ⅰ)求抛物线的解析式和的值;

    (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,轴右侧抛物线上一动点,连接,过点轴于点,问:是否存在点使得以为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

    解:(Ⅰ)把代入,得

    解得:

    抛物线的解析式为

    联立

    解得:

    的坐标为

    过点轴于,如图1

    同理:

    (Ⅱ)(1)存在点,使得以为顶点的三角形与相似.

    过点轴于,则

    设点的横坐标为,由轴右侧可得,则

    若点在点的下方,

    如图2,当时,则

    .把代入,得:

    整理得:,解得:(舍去),(舍去).

    如图2,当时,则

    同理可得:,则

    代入,得:

    整理得:,解得:(舍去),

    若点在点的上方,

    时,则

    同理可得:点的坐标为

    时,则

    同理可得:点的坐标为

    综上所述:满足条件的点的坐标为

     

     

     

     

    【巩固练习】

    1、如图,在ABC中,AB=4AC=3,点DE分别为ABAC边上一动点,AD=1,当AE的长为多少时,ADE三点组成的三角形和ABC相似?;

     

     

    2.图,直线轴、轴分别交于点,点是直线与双曲线的两

    个交点,过点轴于点,且的面积为1

    1)求双曲线的函数解析式;

    2)若在轴上有一动点,使得以点为顶点的三角形与相似,求点的坐标.

     

     

     

     

     

    3.图,矩形中,,动点在边上,与点不重合,过点的垂线,交直线于点.设

    1)求关于的函数关系式,并写出的取值范围.

    2)当时,求的长.

    3)若直线与线段延长线交于点,当相似时,求的长.

     

    4.阅读理解:

    如图1,在四边形的边上任取一点(点不与点、点重合),分别连接,可以

    把四边形分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把叫做四边形的边

    的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把叫做四边形的边上的强相似点.

    解决问题:

    1)如图1,试判断点是否是四边形的边上的相似点,并说明理由;

    2)如图2,在矩形中,,且四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点

    拓展探究:

    3)如图3,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处.若点恰好是四边形的边上的一个强相似点,试探究的数量关系.

     

     

    5.如图,已知二次函数的图象过点

    1)求二次函数的解析式:

    2)求证:是直角三角形;

    3)若点在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点垂直轴于点,是否存在以为顶点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     


    6.如图,某抛物线顶点坐标为轴交于点,与轴交于两点

    1)求抛物线的解析式.

    2)设抛物线的对称轴与直线交于点,连接,求的面积.

    3)点为直线上一动点,过点轴的平行线,与抛物线交于点,问是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.

     

     

     

     


    7.如图,直线轴、轴分别交于点,经过两点的抛物线

    轴的负半轴上另一交点为,且

    1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点的坐标;

    2)若点是射线上一点,且以点为顶点的三角形与相似,求点的坐标.

     

     

     

     

     


    8.如图,已知二次函数为常数)的图象经过点,点,顶

    点为点,过点轴,交轴于点,交该二次函数图象于点,连结

    1)求该二次函数的解析式及点的坐标;

    2)若将该二次函数图象向下平移个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点

    落在的内部(不包括的边界),求的取值范围;

    3)点是直线上的动点,若点,点,点所构成的三角形与相似,请直接写出所有点的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).

     

     

     

    9.如图所示,已知抛物线,与轴从左至右依次相交于两点,与轴相交于点,经过点的直线与抛物线的另一个交点为

    1)若点的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;

    2)若在第三象限内的抛物线上有点,使得以为顶点的三角形与相似,求点的坐标;

     

     

     

     

     

     

     

     


    10.如图,已知抛物线的方程轴相交于点,与轴相交于点,且点在点的左侧.

    1)若抛物线过点,求实数的值;

    2)在第四象限内,抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

     

     


    11、如图,已知抛物线是实数且轴的正半轴分别交于点(点位于点的左侧),与轴的正半轴交于点

    1)点的坐标为  ,点的坐标为   (用含的代数式表示);

    2)请你探索在第一象限内是否存在点,使得四边形的面积等于,且是以点为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由;

    3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点,使得中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.


    参考答案

    1.解:如图1∵∠A=A 时,ADEABC相似,

    ,解得:AE=

    如图2∵∠A=A 时,ADEACB相似,

    ,解得:AE= ,综合上述:AE的长为

     

     

    2.解:(1)当时,

    解得:(舍去),

    在双曲线上,

    双曲线的函数解析式为

    2为直角三角形,点轴上,

    在点的下方,

    有存在两种情况(如图所示)

    时,点与点重合,

    此时点的坐标为

    时,设点的坐标为

    在直线上,

    直线

    时,

    ,即

    解得:

    此时点的坐标为

    综上可知:点的坐标为

     

     

    3.解(1四边形ABCD是矩形,DC=AB=2ADC=BCD=90°
    AFDE∴∠ADF=DCE=90°DAF=EDC=90°-DFA
    ∴△ADF∽△DCE,即

    E在线段BC上,与点BC不重合,
    0<y<40<0<x<80<x<8);
    2当点F线段DC上时,
    CF=1DF=x=2-1=1,此时
    当点F线段DC延长线上时,
    CF=1DF=x=2+1=3,此时

    CF=1时,EC的长为

    3)在中,

    中,

    AD//BC∴△ADF∽△GCF

    DBEDFG相似时,可分以下两种情况:

    DEB∽△GFD,如图,有

    解得

    DEB∽△DFG, 如图,有解得

    综上所述:DF的长为

     

     

     

    4.解析:(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.

    理由:∵∠A=55°∴∠ADE+DEA=125°

    ∵∠DEC=55°∴∠BEC+DEA=125°∴∠ADE=BEC∵∠A=B∴△ADE∽△BECE是四边形ABCDAB边上的相似点.

    2)作图如下:


    3E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,∴△AEM∽△BCE∽△ECM

    ∴∠BCE=ECM=AEM

    由折叠可知:ECMDCM∴∠ECM=DCMCE=CD∴∠BCE=BCD=30°BE=CE=AB

    RtBCE中,tanBCE==tan30°

     

     

     

    5.解:(1)由题意得,函数图象经过点

    故可得:

    解得:

    故二次函数关系式为:

    2)由(1)所求函数关系式可得点坐标为,点坐标为

    满足

    是直角三角形.

     

    3)存在点的坐标,点的坐标为

    设点坐标为,则

    ,则,即

    解得:(因为点在第二象限,故舍去);

    代入可得,即坐标为

    ,则,即

    解得:(因为点在第二象限,故舍去).

    代入可得,即坐标为:

    综上所述,满足条件的点有两个,即

     

     

     

    6.解:(1)依题意,设抛物线的解析式为,将代入,

    得:,解得

    所以抛物线的解析式:,即

     

    2轴交于两点,

    设直线的解析式为:,代入点的坐标后,得:

    ,解得

    直线

    抛物线的对称轴为:,则

    即:

    是直角三角形,且

     

    3)由题意知:轴,则,若相似,则有:

    ,即轴;

    将点纵坐标代入抛物线的解析式中,得:

    ,解得

    时,

    时,

    所以

    易知,直线,联立抛物线的解析式有:

    解得

    时,

    时,

    所以

    综上,存在符合条件的点,且坐标为:

     

     

    7.解:(1)令,则

    解得

    ,则

    把点的坐标代入抛物线解析式得,

    解得

    该抛物线的解析式为

    顶点

     

    2

    是等腰直角三角形,

    是对应边时,

    解得

    过点轴于

    的坐标为

     

    是对应边时,

    解得

    过点轴于

    的坐标为

    综上所述,点的坐标为时,以点为顶点的三角形与相似.

     

     

     

    8.解:(1)把点,点代入二次函数得,

      解得

    二次函数解析式为

    配方得

    的坐标为

    2)设直线解析式为,把点代入得,

    解得

    直线的解析式为,如图所示,对称轴直线两边分别交于点、点

    代入直线解析式解得,则点坐标为,点坐标为

    ,解得

    3)连接,作轴并延长交于点,则点坐标为

    代入解得,则点坐标为

    由此可知,若点上,则,则点与点必为相似三角形对应点

    若有,则有

    若点轴右侧,作轴,

    代入,解得

    同理可得,若点轴左侧,则把代入,解得

    若有,则有

    若点轴右侧,把代入,解得

    若点轴左侧,把代入,解得

    所有符合题意得点坐标有4个,分别为

     

     

     

    9.解:(1

    的坐标为、点两的坐标为

    直线经过点

    时,

    则点的坐标为

    在抛物线上,

    解得,

    则抛物线的解析式为

     

    2)如图1中,作轴于,设点坐标

    时,

    ,即

    ,即

    解得1(舍弃),

    时,

    解得(舍弃),

    坐标

    时,

    ,即

    解得1(舍弃),

    时,

    ,即

    解得(不合题意舍弃),

    则点坐标

    综上所述,符合条件的点的坐标

     

     

     

    10.解:(1)依题意,将代入抛物线解析式得:

    ,解得

    2)分两种情形讨论:

    时,如解答图2所示.

    由函数解析式可得:,即

    轴于点,则

    ,又点在抛物线上,

    此时

    时,如解答图3所示.

    在抛物线上,

    整理得:,显然不成立.

    综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点,使得以点为顶点的三角形与相似,

     

     

     

     

    11.解:(1)令,即

    解得:

    是实数且,点位于点的左侧,

    的坐标为

    解得:

    的坐标为

    故答案为:

     

    2)存在,

    假设存在这样的点,使得四边形的面积等于,且是以点为直角顶点的等腰直角三角形.

    设点的坐标为,连接

    轴,轴,垂足分别为

    四边形是矩形.

    ,即

    解得

    ,即

    解得符合题意.

    的坐标为

     

    3)假设存在这样的点,使得中的任意两个三角形均相似.

    要使相似,只能,即轴.

    只能.此时

    轴知轴.

    要使相似,只能

    时,

    得:

    解得:

    的坐标是

    时,

    ,即

    .即

    解得:,此时符合题意,

    的坐标是

    综上可知,存在点,使得中的任意两个三角形均相似.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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