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中考培优竞赛专题经典讲义 第26讲 存在性问题之相似三角形
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第26讲 存在性问题之相似三角形
相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法,即将问题“何种情况下相似?”转化为“相似时能得到何种情况”
【例题讲解】
例题1、如图,在直角坐标系中有两点,,如果点在轴上与不重合),当和相似时,点坐标为 .
解:点在轴上,
两个三角形相似时,应该与对应,
若与对应,则,;
若与对应,则,或者.
点坐标为:,或.
故答案为:,或.
②如图,在中,,,动点从点开始沿边运动,速度为;动点从点开始沿边运动,速度为;如果、两动点同时运动,那么何时与相似?
解:当时,有即所以
当时,有即所以所以
例题2.将三角形纸片按如图所示的方式折叠,使点落在边上,记为点,折痕为.已
知,,若以点、、为顶点的三角形与相似,那么的长度是 .
解:根据△与相似时的对应情况,有两种情况:
①△时,,
又因为,,,
所以,
解得;
②△时,,
又因为,,,,
所以,
解得.
故的长度是或2.
故答案为:或2.
例题3.如图,已知是边长为的等边三角形,动点、同时从、两点出发,分别沿、
匀速运动,其中点运动的速度是,点运动的速度是,当点到达点时,、两
点都停止运动,设运动时间为,解答下列问题:
(1)当时,判断的形状,并说明理由;
(2)作交于点,连接,当为何值时,.
解:(1)是等边三角形
当时
,
又
是等边三角形;
(2)
,
是等边三角形
,
四边形是平行四边形
又,
,
,
解得
当时,.
例题4.如图,已知的三个顶点坐标分别为、、.
(1)求经过、、三点的抛物线解析式;
(2)设直线交轴于点,连接,求证:;
(3)设抛物线与轴交于点,连接交于点,试问以、、为顶点的三角形与相似吗?
解析:(1)设函数解析式为:,由函数经过点A(﹣4,0)、B(1,0)、C(﹣2,6),
可得,解得:,故经过A、B、C三点的抛物线解析式为:
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,由题意得:,解得:,即直线BC的解析式为.故可得点E的坐标为(0,2),从而可得: ,CE=
,故可得出AE=CE;
(3)相似.理由如下:设直线AD的解析式为y=kx+b,则,解得:,即直线AD的解析式为.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:,即点F的坐标为,则,又∵AB=5,,∴,∴,又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA.故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似
例题5.如图,抛物线与直线交于,两点,交轴与,两点,连接,,已知,.
(Ⅰ)求抛物线的解析式和的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,为轴右侧抛物线上一动点,连接,过点作交轴于点,问:是否存在点使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)把,代入,得
,
解得:.
抛物线的解析式为.
联立,
解得:或,
点的坐标为.
过点作轴于,如图1.,,
,,,,.
,,.
同理:,,
,
;
(Ⅱ)(1)存在点,使得以,,为顶点的三角形与相似.
过点作轴于,则.
设点的横坐标为,由在轴右侧可得,则.
,,.
若点在点的下方,
①如图2①,当时,则.
,,,
.
.
则.把代入,得:,
整理得:,解得:(舍去),(舍去).
②如图2②,当时,则.
同理可得:,则,
把代入,得:,
整理得:,解得:(舍去),,,;
若点在点的上方,
①当时,则,
同理可得:点的坐标为.
②当时,则.
同理可得:点的坐标为,.
综上所述:满足条件的点的坐标为、,、,.
【巩固练习】
1、如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,点D、E分别为AB、AC边上一动点,AD=1,当AE的长为多少时,A、D、E三点组成的三角形和△ABC相似?;
2.如图,直线与轴、轴分别交于点、,点、是直线与双曲线的两
个交点,过点作轴于点,且的面积为1.
(1)求双曲线的函数解析式;
(2)若在轴上有一动点,使得以点、、为顶点的三角形与相似,求点的坐标.
3.如图,矩形中,,,动点在边上,与点、不重合,过点作的垂线,交直线于点.设,.
(1)求关于的函数关系式,并写出的取值范围.
(2)当时,求的长.
(3)若直线与线段延长线交于点,当与相似时,求的长.
4.阅读理解:
如图1,在四边形的边上任取一点(点不与点、点重合),分别连接,,可以
把四边形分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把叫做四边形的边上
的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把叫做四边形的边上的强相似点.
解决问题:
(1)如图1,,试判断点是否是四边形的边上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形中,,,且,,,四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处.若点恰好是四边形的边上的一个强相似点,试探究和的数量关系.
5.如图,已知二次函数的图象过点,.
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:是直角三角形;
(3)若点在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点作垂直轴于点,是否存在以、、为顶点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图,某抛物线顶点坐标为与轴交于点,与轴交于、两点
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的对称轴与直线交于点,连接、,求的面积.
(3)点为直线上一动点,过点作轴的平行线,与抛物线交于点,问是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与相似?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
7.如图,直线与轴、轴分别交于点、,经过、两点的抛物线
与轴的负半轴上另一交点为,且.
(1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点的坐标;
(2)若点是射线上一点,且以点、、为顶点的三角形与相似,求点的坐标.
8.如图,已知二次函数,为常数)的图象经过点,点,顶
点为点,过点作轴,交轴于点,交该二次函数图象于点,连结.
(1)求该二次函数的解析式及点的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点
落在的内部(不包括的边界),求的取值范围;
(3)点是直线上的动点,若点,点,点所构成的三角形与相似,请直接写出所有点的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
9.如图所示,已知抛物线,与轴从左至右依次相交于、两点,与轴相交于点,经过点的直线与抛物线的另一个交点为.
(1)若点的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点,使得以、、为顶点的三角形与相似,求点的坐标;
10.如图,已知抛物线的方程与轴相交于点、,与轴相交于点,且点在点的左侧.
(1)若抛物线过点,求实数的值;
(2)在第四象限内,抛物线上是否存在点,使得以点、、为顶点的三角形与相似?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
11、如图,已知抛物线是实数且与轴的正半轴分别交于点、(点位于点的左侧),与轴的正半轴交于点.
(1)点的坐标为 ,点的坐标为 (用含的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点,使得四边形的面积等于,且是以点为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点,使得,和中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1.解:①如图1,∵∠A=∠A,∴当 时,△ADE和△ABC相似,
∴ ,解得:AE= ;
②如图2,∵∠A=∠A,∴当 时,△ADE和△ACB相似,
∴ ,解得:AE= ,综合上述:AE的长为 或 ;
2.解:(1)当时,,
.
点,
,
解得:或(舍去),
.
点在双曲线上,
,
双曲线的函数解析式为.
(2)为直角三角形,点在轴上,
点在点的下方,,
有存在两种情况(如图所示)
①当时,点与点重合,
此时点的坐标为;
②当时,设点的坐标为.
点在直线上,
,,
直线.
当时,,
.
,,
,,,,.
,
,即,
解得:,
此时点的坐标为.
综上可知:点的坐标为或.
3.解(1)∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=2,∠ADC=∠BCD=90°.
又∵AF⊥DE,∴∠ADF=∠DCE=90°,∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA,
∴△ADF∽△DCE,∴∴,即
∵点E在线段BC上,与点B、C不重合,
∴0<y<4,∴0<即0<x<8,∴(0<x<8);
(2)①当点F线段DC上时,
∵CF=1,∴DF=x=2-1=1,此时;
②当点F线段DC延长线上时,
∵CF=1,∴DF=x=2+1=3,此时
∴当CF=1时,EC的长为.
(3)在中,
在中,
∵AD//BC∴△ADF∽△GCF∴∴
∵∴∴当△DBE与△DFG相似时,可分以下两种情况:
①△DEB∽△GFD,如图,有∴
∴解得
②△DEB∽△DFG, 如图,有∴∴解得
综上所述:DF的长为或
4.解析:(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
理由:∵∠A=55°,∴∠ADE+∠DEA=125°.
∵∠DEC=55°,∴∠BEC+∠DEA=125°∴∠ADE=∠BEC.∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC.∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.
(2)作图如下:
(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,∴△AEM∽△BCE∽△ECM,
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折叠可知:△ECM≌△DCM∴∠ECM=∠DCM,CE=CD∴∠BCE=∠BCD=30°∴BE=CE=AB
在Rt△BCE中,tan∠BCE==tan30°∴,∴
5.解:(1)由题意得,函数图象经过点,,
故可得:,
解得:,
故二次函数关系式为:.
(2)由(1)所求函数关系式可得点坐标为,点坐标为,,
又点,,
,,
,
满足,
是直角三角形.
(3)存在点的坐标,点的坐标为,或,.
设点坐标为,,则,,
①若,则,即,
解得:或(因为点在第二象限,故舍去);
代入可得,即坐标为,;
②若,则,即,
解得:或(因为点在第二象限,故舍去).
代入可得,即坐标为:,.
综上所述,满足条件的点有两个,即,、,.
6.解:(1)依题意,设抛物线的解析式为,将代入,
得:,解得,
所以抛物线的解析式:,即;
(2)与轴交于、两点,
、;
设直线的解析式为:,代入点的坐标后,得:
,解得,
直线;
抛物线的对称轴为:,则;
,,,
即:,
是直角三角形,且;
;
(3)由题意知:轴,则,若与相似,则有:
①,即轴;
将点纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
,解得;
当时,;
当时,;
所以,、,.
②;
易知,直线,联立抛物线的解析式有:
,
,
解得、;
当时,;
当时,;
所以、.
综上,存在符合条件的点,且坐标为:,、,、、.
7.解:(1)令,则,
解得,
令,则,
点,,
,
,
,
点,
把点、、的坐标代入抛物线解析式得,,
解得,
该抛物线的解析式为,
,
顶点;
(2),,
,
,,
是等腰直角三角形,
,,
,,
,
①和是对应边时,,
,
即,
解得,
过点作轴于,
则,
,
点的坐标为,;
②和是对应边时,,
,
即,
解得,
过点作轴于,
则,
,
点的坐标为,
综上所述,点的坐标为,或时,以点、、为顶点的三角形与相似.
8.解:(1)把点,点代入二次函数得,
解得
二次函数解析式为,
配方得,
点的坐标为;
(2)设直线解析式为,把点,代入得,
解得
直线的解析式为,如图所示,对称轴直线与两边分别交于点、点
把代入直线解析式解得,则点坐标为,点坐标为
,解得;
(3)连接,作轴并延长交于点,则点坐标为
,
,
把代入解得,则点坐标为,
,,
,
,
由此可知,若点在上,则,则点与点必为相似三角形对应点
①若有,则有
,,
,
,
,
若点在轴右侧,作轴,
,
把代入,解得,
;
同理可得,若点在轴左侧,则把代入,解得
;
②若有,则有
,
若点在轴右侧,把代入,解得;
若点在轴左侧,把代入,解得
;.
所有符合题意得点坐标有4个,分别为,,,.
9.解:(1),
点的坐标为、点两的坐标为,
直线经过点,
,
,
当时,,
则点的坐标为,
点在抛物线上,
,
解得,,
则抛物线的解析式为;
(2)如图1中,作轴于,设点坐标,
当时,,
,即,
,即,
解得或1(舍弃),
当时,,
,
,
,
,
解得或(舍弃),
则,
点坐标.
当时,,
,即,
,
,
,
解得或1(舍弃),
当时,,
,
,即,
,
解得或(不合题意舍弃),
则点坐标,
综上所述,符合条件的点的坐标和.
10.解:(1)依题意,将代入抛物线解析式得:
,解得.
(2)分两种情形讨论:
①当时,如解答图2所示.
则,
,.
由函数解析式可得:,,即,
,
,
作轴于点,则,
.
设,,又点在抛物线上,
,
,
,
,.
此时,,,
又,
,
,
,
.
②当时,如解答图3所示.
则,
.
,
,
,
,
设,
又点在抛物线上,
,
,
,
,
,,,,
又,
整理得:,显然不成立.
综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点,使得以点、、为顶点的三角形与相似,.
11.解:(1)令,即,
解得:或,
是实数且,点位于点的左侧,
点的坐标为,
令,
解得:,
点的坐标为,
故答案为:,;
(2)存在,
假设存在这样的点,使得四边形的面积等于,且是以点为直角顶点的等腰直角三角形.
设点的坐标为,连接.
则,
.
过作轴,轴,垂足分别为、,
.
四边形是矩形.
.
.
,,即.
由解得
由得,即,
解得符合题意.
的坐标为,;
(3)假设存在这样的点,使得,和中的任意两个三角形均相似.
,
,.
要使与相似,只能,即轴.
,
,
.
只能.此时,
由轴知轴.
.
要使与相似,只能或.
当时,.
.
由得:.
解得:.
,
.
点的坐标是.
当时,,
,即.
又,
.即.
解得:,此时符合题意,
点的坐标是.
综上可知,存在点或,使得,和中的任意两个三角形均相似.
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这是一份中考培优竞赛专题经典讲义 第27讲 存在性问题之等腰三角形,共14页。