中考数学二轮培优专题精讲 第29讲 存在性问题之特殊四边形 (含详解)

第29讲  存在性问题之特殊四边形菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直；矩形存在性问题,抓住内角90°与对角线相等；正方形存在性问题,抓住等腰直角三角形的性质即可.【例题讲解】例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点B出发,沿BA方向以cm/s的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPB P'为菱形,求t的值.解:若四边形QPBP为菱形,t=2秒理由如下:∵∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∵点P的速度是每秒cm,点Q的速度是每秒1cm,∴BP=tcm,BQ=(6－t)cm,∵四边形QPBP'为菱形,∴t×=,解得:t=2;即若四边形QPBP'为菱形的值为2秒. 例题2.如图，已知O(0,0),A(4,0),B(4,3).动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边OA、AB作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为t秒,当直线l运动到O时,它们都停止运动.当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形？若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形.解:四边形CPBD不可能为菱形.如图所示,根据题意可得,AC＝t,AP=3t－4,BP=3－AP=7－3t,OC=4－t,因为CD∥AB,所以△OCD∽△OAB,所以,即,解得:CD=(4－t),因为CD=BP,所以(4－t)=7－3t,解得:t=,所以BP=,在△ACP中,由勾股定理得,CP＝,因为CP≠BP,所以四边形CPBD不可能为菱形.若要使四边形CPBD为菱形,设直线比P点迟x秒出发,则AC=t－x,AP=3t－4,BP=CP=7－3t,因为四边形CPBD为菱形,则CP∥OB,所以△ACP∽△AOB,则,则,,解得: ,即直线比P点迟秒出发时可使四边形CPBD为菱形. 例题3.如图,直线y=x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动,同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动,设点P运动的时间为t秒.(1)求点A,B的坐标；(2)在点P,Q运动的过程中,是否存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形?若存在,求t的值并直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)对于直线y=x+3,令x=0,得到y=3,令y=0得到x=4,∴A(0,3),B(4,0);(2)存在以点APQN为顶点的四边形是矩形,①如图2所示,当∠APQ=90°时,∠BPQ=∠AOB=90°,由(2)得:cos∠PBQ=,即,解得:t=此时N坐标为(,)②如果∠PAQ=90°,∠OAB为锐角,∠PAQ<∠OAB,∴不成立,∠PAQ≠90°③如果∠AQP=90°,当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),当0<t≤5时如图3所示过P作PM⊥x轴于点M. 由①得：MB＝t，∴QM=OB－OQ－BM=4－t,∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°,∴∠OAQ=∠MQP，∴Rt△AOQ∽Rt△QMP∴,即，解得:t=,此时N坐标为(,)综上所述:当t的值为0, ,时,以点APQN为顶点的四边形是矩形,点N的坐标分别为(4,3) (,), (,) 例题4.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M'.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.解:(1)根据题意,抛物线y=x2+bx+c经过点A(－1,0),B(3,0),则将点A、B坐标代入抛物线解析式可得: ,②+3×①得:12+4c=0,解得c=－3,代入①得b=－2,故原方程组的解为，所以抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(2)存在.如图所示,四边形APBQ是正方形.因为四边形APBQ是正方形,所以该抛物线顶点肯定在AB的中垂线上,且AB=PQ,AB与PQ相互垂直平分,则点P的坐标为P(1,2)或P(1,－2).①当点P坐标为P(1,2)时,设抛物线解析式为y=a(x－1)2+2.因为抛物线过A、B两点,所以将点A坐标代入函数解析式得a(－1－1)2+2=0,解得a=,故抛物线的解析式为：y=(x－1)2+2。②当点P坐标为P(1,－2)时,设抛物线解析式为y=a'(x－1)2－2。因为抛物线过A、B点,所以将点坐标代入函数解析式得a'(－1－1)2－2=0,解得a'=,故抛物线的解析式为y=(x－1)2－2。综上所述：存在过A、B两点的抛物线y=(x－1)2+2或y=(x－1)2－2,其顶点P关于轴的对称点为Q,使得四边形APBQ是正方形.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点B出发,沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPBP'为菱形,则t的值为          .       2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,－3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求二次函数解析式；(2)连接PO、PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使得四边形POP'C为菱形？若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由；        3.如图，矩形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．    4. 如图1，已知中，，，．点由出发沿方向向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．以、为边作平行四边形，连接，交于点．设运动的时间为（单位：．解答下列问题：（1）用含有的代数式表示　　．（2）当为何值时，平行四边形为矩形．（3）如图2，当为何值时，平行四边形为菱形．    5.如图1，在直角梯形中，，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动．同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点．连接交于点，连接．设运动时间为秒．（1）填空：　　；　 　．（用含的代数式表示）（2）取何值时，梯形面积等于梯形面积的；（3）如图2，将沿翻折，得，请问是否存在某时刻，使四边形为正方形？说明理由． 6. 如图，二次函数的图象与轴分别交于、两点，顶点关于轴的对称点是．（1）若，求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形的面积；（3）是否存在抛物线，使得四边形为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．     7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、．点是线段上动点，过点作于点，点为轴上一动点，连结、，以、为边作．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当时，是否存在点，使得顶点恰好落在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得为矩形，请求出所有满足条件的的值．
参考答案1.答案：22.解:(1)将点B、C的坐标代入y=x2+bx+c,得,将②代入①,得b=－2.故二次函数的解析式为y=x2－2x－3. (2)如图1所示,假设抛物线上存在点P,使四边形POP'C为形,连接PP'交CO于点E,因为四边形POP'C为菱形,所以PC=PO,PE⊥CO.故OE=EC=,即点P的纵坐标为.由x2－2x－3=－,得x=或x=,当x=时,点P不在直线BC下方,故舍去.故存在这样的点,此时点P的坐标为(,) 3.解：（1）中，令，解得，则的坐标是，，，，则的坐标是，把的坐标代入得，解得：；（2），三角形的面积与四边形的面积之比为，．设的横坐标是，则，解得：，把代入得．则的坐标是；（3）当四边形是菱形时，如图（1），的纵坐标是，把代入，得，解得：，则的坐标是，，则的坐标是，；当四边形是菱形时，如图（2），设的横坐标是，则纵坐标是，则，解得：或0（舍去）．则的坐标是，．则的中点是，．则的坐标是，．故的坐标是，或，．  4.解：（1）中，，，．由勾股定理得：，点由出发沿方向向点匀速运动，速度均为，，，四边形为平行四边形，；（2）当是矩形时，，，即解之  当时，是矩形；（3）当是菱形时，，则即解之  当时，是菱形．  5.解：（1）如图1．，．在直角梯形中，，，于点，四边形为矩形，，；（2）如图1．梯形的面积等于梯形面积的，，解得．当时，梯形面积等于梯形面积的；（3）存在时刻，能够使四边形为正方形．理由如下：，，．将沿翻折，得，，，．若四边形为正方形，则，，，，，，当时，四边形为正方形．故答案为：；．  6.解：（1）在二次函数的图象上，，解得，二次函数的关系式为；（2），顶点的坐标为，，，对称轴为，点的坐标为，，，顶点关于轴的对称点是，；（3）存在抛物线，使得四边形为正方形．理由如下：令，则，设点的坐标分别为，，，，则，，所以，，点的纵坐标为：，顶点关于轴的对称点是，四边形为正方形，，整理得，，解得，，又抛物线与轴有两个交点，△，解得，的值为，故存在抛物线，使得四边形为正方形．  7.解：（1），，，，，，，，，即，；（2），，，，点落在轴上，（如图，，，，即，，点的坐标为，；（3）取的中点，过作轴于点，．（Ⅰ）当时，①时，如图3，，，，根据题意，得，解得，②当时，显然不存在满足条件的的值；（Ⅱ）当时，点与原点重合，（图；（Ⅲ）当时，①当点与点重合时，如图5，易证，即，解得；②当点与点不重合时，如图6，，，由题意，得即，解得，综上所述：或0或或．