高中数学高考第2节 一元二次不等式及其解法 教案

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1．一元二次不等式
把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
2．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
eq \O([常用结论])
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0.
2．简单分式不等式
(1)eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx≥0，,gx≠0；))
(2)eq \f(fx,gx)＞0⇔f(x)g(x)＞0.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材改编
1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}
A [方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]
2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于( )
A．{x|－2＜x＜3} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
B [由x2－x－6＞0得x＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2，或x＞3}，∴∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B.]
3．一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0的解集为R，则k的取值范围是 ．
(－3,0) [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＜0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))＜0，))
解得－3＜k＜0.]
4．关于x的不等式－eq \f(1,2)x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝ .
1 [由题意知，x＝2是方程－eq \f(1,2)x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－eq \f(1,2)×22＋2×2＝2，解得m＝1.]
考点1 不含参数的一元二次不等式
解一元二次不等式的四个步骤
1.已知集合M＝{x|x2－x－2＜0}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}
C [由x2－x－2＜0得(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2，即M＝{x|－1＜x＜2}．
又N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，
则M∩N＝{x|－1＜x≤1}，故选C.]
2．不等式2x＋3－x2＞0的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|x＞3或x＜－1}
C．{x|－3＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜－3}
A [不等式2x＋3－x2＞0可化为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3，故选A.]
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤0，,－x＋2，x＞0，))则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
A [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x＋2≥x2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,－x＋2≥x2，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2－x－2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,x2＋x－2≤0，))
解得－1≤x≤0或0＜x≤1，即－1≤x≤1，故选A.]
解一元二次不等式，求相应一元二次方程的根是关键，若一元二次方程有两个相等的根或无解，则应根据二次函数的图象写出不等式的解集．
考点2 含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式的三个分类讨论点
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( )
A．{x|2