高端精品高中数学一轮专题-一元二次不等式及其解法（讲）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-一元二次不等式及其解法（讲）（带答案）教案，共6页。教案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
一元二次不等式及其解法一、知识梳理1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅常用结论1．分式不等式的解法(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0)⇔2．记住两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔二、教材衍化1．不等式2x2－x－3>0的解集为________．答案：2．若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√二、易错纠偏常见误区  (1)解不等式时变形必须等价；(2)注意二次项的系数的符号；(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况．1．不等式－x2－2x＋3≥0的解集为________．解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．答案：{x|－3≤x≤1}2．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.答案：3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－4<m<0.综上，m的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]考点一　一元二次不等式的解法(基础型) (1)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集为_____________．(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是___________________．(3)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．【解析】 (1)由题意或解得x>1.故填{x|x>1}．(2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.   故填{x|x≥3或x≤2}．(3)因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.①当a>0时，－<，解集为；②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a<0时，－>，解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．1．不等式0<x2－x－2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于即即解得借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]2．不等式≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得≥0，等价于解得x>5或x≤.所以原不等式的解集为.答案：∪(5，＋∞)3．解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解：因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<.综上所述，当0<a<1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为.考点二　一元二次不等式恒成立问题(综合型)复习指导 此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则即解得－2<a<2.所以实数a的取值范围是(－2，2]．【答案】　(－2，2]一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度二　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．【解析】　设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以Δ<0或解得1<a<4或4≤a≤5，即1<a≤5.【答案】　(1，5]形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．1．若函数y＝的定义域为R，则m的取值范围是________．解析：要使y＝有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则解得m≥.答案：2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，求实数b的取值范围．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．