高中数学高考第5节 第2课时 直线与椭圆 教案

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研究直线与椭圆位置关系的方法
直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，
①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．
②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
1.若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
D [∵直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，
∴要使直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，
只需eq \f(02,5)＋eq \f(12,m)≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m， ①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3eq \r(2)＜m＜3eq \r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3eq \r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3eq \r(2)或m＞3eq \r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点2 弦长及中点弦问题
中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．
(1)B (2)eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,12)＝1 [(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),16)＋\f(yeq \\al(2,1),4)＝1， ①,\f(xeq \\al(2,2),16)＋\f(yeq \\al(2,2),4)＝1， ②))
①－②得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,16)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝0，
又P(3，1)是AB的中点．
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(3,4).
故直线AB的方程为y－1＝－eq \f(3,4)(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故选B.
(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为eq \f(y2,b2＋4)＋eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y2,b2＋4)＋\f(x2,b2)＝1，,y＝3x＋7)) 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知eq \f(y1＋y2,2)＝1，
∴y1＋y2＝eq \f(14（b2＋4）,10b2＋4)＝2，解得b2＝8.
∴所求椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,12)＝1.
法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为eq \f(y2,b2＋4)＋eq \f(x2,b2)＝1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),b2＋4)＋\f(xeq \\al(2,1),b2)＝1，①,\f(yeq \\al(2,2),b2＋4)＋\f(xeq \\al(2,2),b2)＝1，②))
①－②得
eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2＋4)＋eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,b2)＝0，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq \f(b2＋4,b2)，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝3，代入上式得3×eq \f(2×1,2×（－2）)＝－eq \f(b2＋4,b2)，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,12)＝1.]
“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0)比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0)．
[教师备选例题]
已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(1)若过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))且被P点平分的弦所在直线的方程．
[解] (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，①,\f(xeq \\al(2,2),2)＋yeq \\al(2,2)＝1，②))
①－②得eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(x2＋x1,2（y2＋y1）)＝－eq \f(x,2y)，
所以－eq \f(x,2y)＝eq \f(y－1,x－2)，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1内部的部分)．
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－eq \f(x,2y)＝－eq \f(1,2)，
因此所求直线方程是y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
化简得2x＋4y－3＝0.
1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b0得－eq \r(3)0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·eq \f(12,1＋4k2)－2k·eq \f(16k,1＋4k2)＋4>0，
解得k2