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北师大版高中数学选择性必修第一册双曲线及其标准方程学案含解析
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专题04 双曲线及其标准方程
要点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
【方法技巧】
要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”．
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
要点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝
【方法技巧】
(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．
【答疑解惑】
教材P121探究
设M(x，y)，则kAM＝(x≠－5)，kBM＝(x≠5)．
由题意，知kAM·kBM＝，即·＝(x≠±5)．
化简、整理，得－＝1(x≠±5)
因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除A，B两点外)．与3.1节例3比较可以发现，一个动点M与两个定点F1(－a,0)，F2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为一个常数k，则当k＝时，轨迹为双曲线(除F1，F2两点外)，方程为－＝1(x≠±a)；
当k＝－(a2≠b2)时，轨迹为椭圆(除F1，F2两点外)，方程为＋＝1(x≠±a)；
当k＝－1时，轨迹为圆(除F1，F2两点外)，方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．( )
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．( )
(4)点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．( )
【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×
2．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
【解析】由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
【答案】C
【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
【答案】22或2
【解析】设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.
题型一 求双曲线的标准方程
【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
【方法技巧】
求双曲线标准方程时有两个关注点．
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
求双曲线的标准方程的方法一般为待定系数法，求解步骤如下：
1．根据已知条件设出双曲线的标准方程；
2．利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用；
3．确定双曲线的标准方程．
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，需分类讨论．也可直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，把所给点的坐标代入方程，解方程组可求出A，B的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论．
【变式训练】
1.(多选)与椭圆＋y2＝1有共同焦点的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
【答案】(1)CD
【解析】(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，A中的双曲线焦点坐标为(－，0)，(，0)，不符合；
B中的双曲线焦点坐标为(0，－)，(0，)，不符合；
C、D中的双曲线焦点坐标为(－，0)，(，0)，故选CD.
2.已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以|PF1|＝＝＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，选B.
题型二 双曲线的标准方程及应用
【例2】(1)(多选)设θ∈(－，0)∪(，π)，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线可能是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
【答案】(1)AB
【解析】(1)当θ∈时，sin θ<0，cos θ>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确．
当θ∈时，sin θ>0，cos θ<0，则方程表示的曲线是在x轴上的双曲线，B正确．故选AB.
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________.
【答案】(2)6或－6
【解析】(2)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，解得k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.
【方法技巧】
给出方程＋＝1(mn≠0)，并不能确定它所表示的曲线是不是双曲线，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若则双曲线的焦点在y轴上．
【变式训练】
1.已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－22或k<－2 D．－2
【解析】(1)∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0.即或
解得k>5或－2
A．－3－2 D．k>－2
【答案】(2)A
【解析】(2)由题意知解得－3
探究1 与双曲线有关的动点的轨迹问题
【例3】如图(1)，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，
求顶点C的轨迹方程．
【分析】建系→由正弦定理得三角形边长关系→由双曲线的定义判断
【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
【方法技巧】
与双曲线有关的轨迹问题的解题思路和注意点
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1) 列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：
(1) 双曲线的焦点所在的坐标轴；
(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
探究2 焦点三角形问题
【例4】(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|:|PF2|＝1:3，则△F1PF2的周长等于________.
【答案】(1)B（2）22
【解析】(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
(2)由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|:|PF2|＝1:3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
【方法技巧】
在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|，|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|，|PF2|的关系式，从而求出|PF1|，|PF2|.
但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
探究3 与双曲线有关的最值问题
【例5】(1)已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.＋4 B.－4 C.－2 D.＋2
(2)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________.
【答案】(1)C （2）5
【解析】(1)因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2.故选C.
(2)双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
【方法技巧】
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点．
(1)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在；
(2)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在．
【变式训练】
1.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
【答案】A
【解析】|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.
2.若点P是双曲线－＝1上的一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【答案】16
【解析】(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16.
3.已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【答案】(3)9
【解析】(3)由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.
易错辨析 忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值致错
【例6】若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝________.
【答案】13
【解析】由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6∴|PF2|＝13或1
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
由双曲线定义求得错解|PF2|＝1或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a＝2
利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时，若有两解，一定要检验解是否满足|PF|≥c－a
1．（2021·南城县第二中学高二开学考试）下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是( )
A.－＝2 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】D
【解析】与－＝1共焦点的双曲线系方程为－＝1(－12＜λ＜24)，对比四个选项，只有D符合条件(此时λ＝－2)．
2．（2021·上海交大附中高二期中）设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5 B．3
C．7 D．3或7
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选D.
3．（2021·福建高二期中）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】由双曲线的方程可知a＝1，c＝.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则
∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
4．(多选)（2021山东省济南外国语高二期中）已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是( )
A．当1
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1
【答案】BCD
【解析】A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴14.
5．（2021·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高二期末）已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝，即a2＋b2＝5.①
设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0,2)，
可知得
即点P的坐标为(，4)，
代入双曲线方程，得－＝1.②
联立①②，得a2＝1，b2＝4，
即双曲线的标准方程为x2－＝1.故选B.
6．（2019·黑龙江哈九中高二期中）设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
【答案】16
【解析】由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
7. （2021·重庆巴蜀中学高二期中）如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．
【答案】x2－＝1
【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
8．（2021·贵州贵阳一中高二月考）设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________.
【答案】22 －
【解析】由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cos∠F1PF2＝＝＝－.
9．（2021·重庆一中高二月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．（2019·黑龙江伊春二中高二期末）在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【解析】以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理得sin∠CAB＝，sin∠CBA＝，sin C＝.
∵2sin∠CAB＋sin C＝2sin∠CBA，∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
∴|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
11．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；
又因为，所以由正弦定理得，故选：D.
12．（2021·重庆西南大学附中高二期中）设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【解析】设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝2＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6.∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.
13．（2021·河南高二期末）已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是________________________．
【答案】以A，B为焦点的双曲线的下半支
【解析】∵A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2＜|AB|＝14，
∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．
14．在①，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线，_______，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选①，因为，所以，所以．
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，所以，
解得，故C的方程为．
若选②，则.
若，则，所以，
解得，则C的方程为；
若，则，所以，
解得，则C的方程为．
选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以，即.
若，则， 所以，解得，则C的方程为；
若，则，所以，解得，则C的方程为．
15. （2021·福建省武平县第一中学高二月考）如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
【解析】法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－
＝2＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
故曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得
故曲线C的方程为－＝1.
要点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
【方法技巧】
要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”．
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
要点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝
【方法技巧】
(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．
【答疑解惑】
教材P121探究
设M(x，y)，则kAM＝(x≠－5)，kBM＝(x≠5)．
由题意，知kAM·kBM＝，即·＝(x≠±5)．
化简、整理，得－＝1(x≠±5)
因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除A，B两点外)．与3.1节例3比较可以发现，一个动点M与两个定点F1(－a,0)，F2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为一个常数k，则当k＝时，轨迹为双曲线(除F1，F2两点外)，方程为－＝1(x≠±a)；
当k＝－(a2≠b2)时，轨迹为椭圆(除F1，F2两点外)，方程为＋＝1(x≠±a)；
当k＝－1时，轨迹为圆(除F1，F2两点外)，方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．( )
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．( )
(4)点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．( )
【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×
2．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
【解析】由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
【答案】C
【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
【答案】22或2
【解析】设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.
题型一 求双曲线的标准方程
【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
【方法技巧】
求双曲线标准方程时有两个关注点．
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
求双曲线的标准方程的方法一般为待定系数法，求解步骤如下：
1．根据已知条件设出双曲线的标准方程；
2．利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用；
3．确定双曲线的标准方程．
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，需分类讨论．也可直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，把所给点的坐标代入方程，解方程组可求出A，B的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论．
【变式训练】
1.(多选)与椭圆＋y2＝1有共同焦点的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
【答案】(1)CD
【解析】(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，A中的双曲线焦点坐标为(－，0)，(，0)，不符合；
B中的双曲线焦点坐标为(0，－)，(0，)，不符合；
C、D中的双曲线焦点坐标为(－，0)，(，0)，故选CD.
2.已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以|PF1|＝＝＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，选B.
题型二 双曲线的标准方程及应用
【例2】(1)(多选)设θ∈(－，0)∪(，π)，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线可能是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
【答案】(1)AB
【解析】(1)当θ∈时，sin θ<0，cos θ>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确．
当θ∈时，sin θ>0，cos θ<0，则方程表示的曲线是在x轴上的双曲线，B正确．故选AB.
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________.
【答案】(2)6或－6
【解析】(2)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，解得k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.
【方法技巧】
给出方程＋＝1(mn≠0)，并不能确定它所表示的曲线是不是双曲线，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若则双曲线的焦点在y轴上．
【变式训练】
1.已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2
【解析】(1)∵方程对应的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)>0.即或
解得k>5或－2
A．－3
【答案】(2)A
【解析】(2)由题意知解得－3
探究1 与双曲线有关的动点的轨迹问题
【例3】如图(1)，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，
求顶点C的轨迹方程．
【分析】建系→由正弦定理得三角形边长关系→由双曲线的定义判断
【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
【方法技巧】
与双曲线有关的轨迹问题的解题思路和注意点
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1) 列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：
(1) 双曲线的焦点所在的坐标轴；
(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
探究2 焦点三角形问题
【例4】(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|:|PF2|＝1:3，则△F1PF2的周长等于________.
【答案】(1)B（2）22
【解析】(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
(2)由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|:|PF2|＝1:3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
【方法技巧】
在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|，|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|，|PF2|的关系式，从而求出|PF1|，|PF2|.
但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
探究3 与双曲线有关的最值问题
【例5】(1)已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.＋4 B.－4 C.－2 D.＋2
(2)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________.
【答案】(1)C （2）5
【解析】(1)因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2.故选C.
(2)双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
【方法技巧】
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点．
(1)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在；
(2)若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在．
【变式训练】
1.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
【答案】A
【解析】|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.
2.若点P是双曲线－＝1上的一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【答案】16
【解析】(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16.
3.已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【答案】(3)9
【解析】(3)由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.
易错辨析 忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值致错
【例6】若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝________.
【答案】13
【解析】由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6∴|PF2|＝13或1
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
由双曲线定义求得错解|PF2|＝1或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a＝2
利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时，若有两解，一定要检验解是否满足|PF|≥c－a
1．（2021·南城县第二中学高二开学考试）下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是( )
A.－＝2 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】D
【解析】与－＝1共焦点的双曲线系方程为－＝1(－12＜λ＜24)，对比四个选项，只有D符合条件(此时λ＝－2)．
2．（2021·上海交大附中高二期中）设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5 B．3
C．7 D．3或7
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝±2a，即5－|PF2|＝±2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7.故选D.
3．（2021·福建高二期中）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】由双曲线的方程可知a＝1，c＝.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则
∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
4．(多选)（2021山东省济南外国语高二期中）已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是( )
A．当1
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1
【答案】BCD
【解析】A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴1
5．（2021·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）高二期末）已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝，即a2＋b2＝5.①
设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0,2)，
可知得
即点P的坐标为(，4)，
代入双曲线方程，得－＝1.②
联立①②，得a2＝1，b2＝4，
即双曲线的标准方程为x2－＝1.故选B.
6．（2019·黑龙江哈九中高二期中）设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
【答案】16
【解析】由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
7. （2021·重庆巴蜀中学高二期中）如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．
【答案】x2－＝1
【解析】设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
8．（2021·贵州贵阳一中高二月考）设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________.
【答案】22 －
【解析】由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cos∠F1PF2＝＝＝－.
9．（2021·重庆一中高二月考）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．（2019·黑龙江伊春二中高二期末）在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【解析】以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理得sin∠CAB＝，sin∠CBA＝，sin C＝.
∵2sin∠CAB＋sin C＝2sin∠CBA，∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
∴|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
11．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；
又因为，所以由正弦定理得，故选：D.
12．（2021·重庆西南大学附中高二期中）设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【解析】设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝2＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6.∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.
13．（2021·河南高二期末）已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是________________________．
【答案】以A，B为焦点的双曲线的下半支
【解析】∵A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2＜|AB|＝14，
∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．
14．在①，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线，_______，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选①，因为，所以，所以．
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，所以，
解得，故C的方程为．
若选②，则.
若，则，所以，
解得，则C的方程为；
若，则，所以，
解得，则C的方程为．
选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以，即.
若，则， 所以，解得，则C的方程为；
若，则，所以，解得，则C的方程为．
15. （2021·福建省武平县第一中学高二月考）如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
【解析】法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－
＝2＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
故曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得
故曲线C的方程为－＝1.
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