高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 高考专题突破二　高考中的解三角形问题

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 高考专题突破二　高考中的解三角形问题，共11页。试卷主要包含了利用正、余弦定理解三角形，平面几何中的解三角形问题，解三角形中的最值与范围问题等内容，欢迎下载使用。

例1 (10分)(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝eq \r(3)，②csin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
规范解答
解 方案一：选条件①.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).[2分]
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，[6分]
由此可得b＝c.[7分]
由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1.[9分]
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.[10分]
方案二：选条件②.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).[2分]
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，[6分]
由此可得b＝c，B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3).[7分]
由②csin A＝3，得c＝b＝2eq \r(3)，a＝6.[9分]
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq \r(3).[10分]
方案三：选条件③.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).[2分]
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，[6分]
由此可得b＝c.[7分]
由于③c＝eq \r(3)b，与b＝c矛盾．[9分]
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．[10分]
第一步：根据C＝eq \f(π,6)及余弦定理得出a，b，c的关系；
第二步：根据条件sin A＝eq \r(3)sin B得出a，b的关系，从而得出b，c的关系；
第三步：结合自然条件即可求出各边长；
第四步：下结论，判断三角形解的情况．
[高考改编题] 在①cs 2B－eq \r(3)sin B＋2＝0；②2bcs C＝2a－c；③eq \f(b,a)＝eq \f(cs B＋1,\r(3)sin A)三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 选条件①.
因为cs 2B＝1－2sin2B，
所以2sin2B＋eq \r(3)sin B－3＝0，
即(2sin B－eq \r(3))(sin B＋eq \r(3))＝0，
解得sin B＝－eq \r(3)(舍去)或sin B＝eq \f(\r(3),2).
因为0