人教版高中数学高考一轮复习训练--高考中的三角函数与解三角形问题

规范答题增分专项二　

高考中的三角函数与解三角形问题

1.(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=150°.

(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;

(2)若sin A+sin C=,求C.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.

(1)求c;

(2)设点D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.

3.(2020全国Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.

(1)求A;

(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.

4.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.

(1)求;

(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.

5.(2020山东,17)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,　　　　　? 

6.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=2,求BC.

7.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=,B=45°.

(1)求sin C的值;

(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-,求tan∠DAC的值.

8.在①m=(a+b,c-a),n=(a-b,c),且m⊥n,②2a-c=2bcos C,③sin(B+)=cos B+这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答.

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且　　　　　. 

(1)求角B;

(2)若b=4,求△ABC周长的最大值.

规范答题增分专项二　高考中的三角函数与解三角形问题

1.解 (1)由题设及余弦定理,得28=3c2+c2-2c2×cos 150°,解得c=-2(舍去)或c=2.从而a=2

△ABC的面积为22×sin 150°=

(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=sin(30°+C).

故sin(30°+C)=

因为0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.

2.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=

在△ABC中,由余弦定理,得28=4+c2-4ccos,

即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.

(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为=1.

因为△ABC的面积为4×2sin∠BAC=2,

所以△ABD的面积为

3.(1)解 由已知得sin2A+cos A=,即cos2A-cos A+=0.

所以=0,cos A=由于0<A<π,故A=

(2)证明 由正弦定理及已知条件,得sin B-sin C=sin A.

由(1)知B+C=,所以sin B-sinsin

即sin B-cos B=,sin

由于0<B<,故B=,从而△ABC是直角三角形.

4.解 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.

由正弦定理,得

(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,且DC=,所以BD=在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

5.解 方案一:选条件①.

由C=和余弦定理,得

由sin A=sin B及正弦定理,得a=b.

于是,由此可得b=c.

由①ac=,解得a=,b=c=1.

因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.

方案二:选条件②.

由C=和余弦定理,得

由sin A=sin B及正弦定理,得a=b.

于是,由此可得b=c.所以B=C=

由A+B+C=π,得A=π-

由②csin A=3,即csin=3,所以c=b=2,a=6.

因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2

方案三:选条件③.

由C=和余弦定理,得

由sin A=sin B及正弦定理,得a=b.

于是,由此可得b=c.

由③c=b,与b=c矛盾.

因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.

6.解 (1)在△ABD中,由正弦定理,得

由题意知,得sin∠ADB=

由题意知0°<∠ADB<90°,

所以cos∠ADB=

(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=

在△BCD中,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2·BD·DCcos∠BDC=25+8-2×5×2=25,即BC=5.

7.解 (1)在△ABC中,因为a=3,c=,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=9+2-2×3cos 45°=5,所以b=

在△ABC中,由正弦定理,

得,所以sin C=

(2)在△ADC中,因为cos ∠ADC=-,所以∠ADC为钝角,而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,

所以∠C为锐角.

故cos C=,则tan C=

因为cos∠ADC=-,所以sin∠ADC=

,tan∠ADC==-

从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-C)=-tan(∠ADC+C)=-=-

8.解 选①:(1)∵m=(a+b,c-a),n=(a-b,c),且m⊥n,

∴(a+b)(a-b)+c(c-a)=0.

化简得a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cos B=,∵0<B<π,∴B=

(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得16=(a+c)2-3ac.

,∴ac,当且仅当a=c时,等号成立,

∴3ac=(a+c)2-16,解得a+c≤8,当且仅当a=c=4时,等号成立,∴a+b+c≤8+4=12,

∴△ABC的周长的最大值为12.

选②:(1)根据正弦定理,由2a-c=2bcos C,得2sin A-sin C=2sin Bcos C.

∵sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,

∴2sin Ccos B=sin C.

∵sin C≠0,∴cos B=

∵B∈(0,π),∴B=

(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得16=(a+c)2-3ac.

,∴ac,当且仅当a=c时,等号成立,

∴3ac=(a+c)2-16,解得a+c≤8,当且仅当a=c=4时,等号成立,

∴a+b+c≤8+4=12,∴△ABC的周长的最大值为12.

选③:(1)由sin=cos B+,得sin B+cos B=cos B+,即sin B-cos B=,得cos(B+)=-,

∵B∈(0,π),∴B+,解得B=

(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得16=(a+c)2-3ac.

,∴ac,当且仅当a=c时,等号成立,

∴3ac=(a+c)2-16,解得a+c≤8,当且仅当a=c=4时,等号成立,

∴a+b+c≤8+4=12,∴△ABC的周长的最大值为12.