人教版高中数学高考一轮复习训练--高考中的数列问题

规范答题增分专项三　高考中的数列问题

1.(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.

2.(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.

3.在①a1=-8,a2=-7,an+1=kan+1(n∈N*,k∈R);②若{an}为等差数列,且a3=-6,a7=-2;③设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n(n∈N*)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.

在数列{an}中,　　　　　.记Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求T20. 

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

5.已知{an}为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数都不在下表的同一列.

请从①a1=2,②a1=1,③a1=3这三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列{an}存在,并在此存在的数列{an}中,试解答下列两个问题:

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}满足bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.

6.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=(n≥2).

(1)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.

7.(2020天津,19)已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)记{an}的前n项和为Sn,求证:SnSn+2<(n∈N*);

(3)对任意的正整数n,设cn=求数列{cn}的前2n项和.

8.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数阵:

a1

a2　a3　a4

a5　a6　a7　a8　a9

a10 a11 a12 a13 a14　a15　a16

……

其中a2=4,a17=10,a14=,且数阵中的第一列数a1,a2,a5,a10,…构成等差数列,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数.表中每一行正中间的项a1,a3,a7,a13,…构成的数列记为{bn}.

(1)求数列{bn}的前n项和Sn;

(2)记集合M={n|(n+1)bn≥λ,n∈N*},若M的元素个数为4,求实数λ的取值范围.

规范答题增分专项三　高考中的数列问题

1.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1.

由已知得

解得a1=1,q=3.

所以数列{an}的通项公式为an=3n-1.

(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=

由Sm+Sm+1=Sm+3,得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.

2.解 (1)设等比数列{an}的公比为q.

由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.

解得q=(舍去),q=2.

因为a1q2=8,所以a1=2.

所以{an}的通项公式为an=2n.

(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.

所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.

3.解 若选择①,

因为an+1=kan+1,所以a2=ka1+1,

即-8k+1=-7,解得k=1,

则an+1-an=1,即数列{an}是首项为-8,公差为1的等差数列,

故an=n-9;

若选择②,

设等差数列{an}的公差为d,

因为a3=-6,a7=-2,

所以a1+2d=-6,a1+6d=-2,

解得a1=-8,d=1,故an=a1+(n-1)d=n-9;

若选择③,

因为Sn=n2-n,所以a1=S1==-8,

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2-(n-1)=n2-n+9,

则an=Sn-Sn-1=n-9(n≥2),因为a1=-8也满足上式,所以an=n-9.

由an≥0,得n≥9,

故T20=(-a1)+(-a2)+(-a3)+…+(-a8)+a9+a10+a11+…+a20=-(a1+a2+a3+…+a8)+(a9+a10+a11+…+a20)=-=102.

4.解 (1)依题意得

解得

故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,

即an=2n+1.

(2)由题意可知=3n-1,

则bn=an·3n-1=(2n+1)×3n-1.

故Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1, ①

3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n, ②

由①-②,得

-2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n

=3+2-(2n+1)×3n

=-2n·3n,

故Tn=n·3n.

5.解 (1)若选择条件①,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:

a1=2,a2=6,a3=7,不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=8,不是等差数列;

当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:

a1=2,a2=4,a3=7,不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=12,不是等差数列;

当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:

a1=2,a2=4,a3=8,不是等差数列,a1=2,a2=6,a3=12,不是等差数列,

则将a1=2放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列{an}都不存在.

若选择条件②,则放在第一行第二列,结合条件可知a1=1,a2=4,a3=7,

则公差d=a2-a1=3,

所以an=a1+(n-1)d=3n-2.

若选择条件③,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:

a1=3,a2=6,a3=7,不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=8,不是等差数列;

当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:

a1=3,a2=4,a3=7,不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=12,不是等差数列;

当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:

a1=3,a2=4,a3=8,不是等差数列,a1=3,a2=6,a3=12,不是等差数列,

则将a1=3放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列{an}都不存在.综上可知,an=3n-2.

(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2.

当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=+…+=(a1+a2)(a1-a2)+(a3-a4)(a3+a4)+…+(an-1+an)(an-1-an)=-3(a1+a2+a3+…+an)=-3=-n2+n;

当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-(n-1)2+(n-1)+(3n-2)2=n2-n-2.

故Tn=

6.(1)证明 因为an=(n≥2),

所以Sn-Sn-1=

由数列{an}的各项均为正数,

得=1,

所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n.

所以an==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1.

(2)解 因为),

所以Tn=+…+

即Tn<要使不等式4Tn<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,

故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).

7.(1)解 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,从而{an}的通项公式为an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而{bn}的通项公式为bn=2n-1.

(2)证明 由(1)可得Sn=,故SnSn+2=n(n+1)(n+2)(n+3),(n+1)2(n+2)2,从而SnSn+2-=-(n+1)(n+2)<0,所以SnSn+2<

(3)解 当n为奇数时,cn=;当n为偶数时,cn=

对任意的正整数n,

有c2k-1=)=-1,和c2k=+…+①

由①得c2k=+…+②

由①-②,得c2k=+…+,从而得c2k=

因此ck=c2k-1+c2k=

所以数列{cn}的前2n项和为

8.解 (1)根据题意可知,第一列构成的等差数列的公差d==2,

所以a1=2,所以第n行的第1项为2n.

由此可知第4行的第1项a10=8,又a14为第4行的第5项,

所以每行的公比q=

由题意可知,第n行共有2n-1项,且bn为第n行的中间项,

所以bn为第n行的第n项,得bn=2n

Sn=+…+, ①

则Sn=+…+, ②

由①-②,得Sn=+…+,

Sn==4-,得Sn=8-

(2)设cn=(n+1)bn=,

则cn+1-cn=,

可得c2-c1>0,c3-c2=0,即c2=c3>c1,当n≥3时,cn+1<cn.由于c1=4,c2=c3=6,c4=5,c5=,即c2=c3>c4>c1>c5,当n>6时,c5>cn,因为集合M={n|(n+1)bn≥λ,n∈N*}的元素个数为4,所以c5<λ≤c1,即实数λ的取值范围为