(新高考)高考数学一轮复习讲义第4章§4.5三角函数的图象与性质(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲义第4章§4.5三角函数的图象与性质(含详解)，共22页。试卷主要包含了能画出三角函数的图象等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(3)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( √ )
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案 A
2．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))
答案 D
解析 由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z.
3．函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递减区间是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z
解析 因为y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
令2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，
求得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，
可得函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
解析 要使函数有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))
故函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
(2)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))
解析 设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x，sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
且－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，
t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1＋2\r(2),2).
∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).
教师备选
1．函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
解析 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
2．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs x－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．
答案 1
解析 由题意可得
f(x)＝－cs2x＋eq \r(3)cs x＋eq \f(1,4)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(\r(3),2)))2＋1.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs x∈[0,1]．
∴当cs x＝eq \f(\r(3),2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取最大值为1.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f(x)＝cs x－cs 2x，试判断函数的奇偶性及最大值( )
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为eq \f(9,8) D．偶函数，最大值为eq \f(9,8)
答案 D
解析 由题意，
f(－x)＝cs (－x)－cs (－2x)
＝cs x－cs 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cs x－cs 2x＝－2cs2x＋cs x＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)，
所以当cs x＝eq \f(1,4)时，f(x)取最大值eq \f(9,8).
(2)函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析 ∵函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)，
∴应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x>0，,9－x2≥0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ