(新高考)高考数学一轮复习讲义第4章§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含详解)

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).2．辅助角公式asin α＋bcos α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)(4)eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cos α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))).(　×　)教材改编题1．若cos α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于(　　)A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10)C．－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)答案　C解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(3,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sin αcos eq \f(π,4)＋cos αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案　eq \f(1,2)解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).3．若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .答案　eq \f(1,7)解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝1，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))等于(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)答案　D解析　∵cos α＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝1，∴cos α＋eq \f(1,2)cos α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(3,2)cos α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos α＋\f(1,2)sin α))＝eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝1，∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).(2)化简：①sin x＋eq \r(3)cos x＝ .答案　2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))解析　sin x＋eq \r(3)cos x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cos x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).②eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝ .答案　eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－x))解析　原式＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－x)).教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)答案　B解析　因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos eq \f(π,6)－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos eq \f(π,6)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))cos eq \f(π,6)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1.所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为(　　)A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)答案　A解析　∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cos α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2)，∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小值为(　　)A.eq \r(2) B．－2C．－eq \r(2) D.eq \r(3)答案　C解析　y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sin 2xcos eq \f(π,4)＋cos 2xsin eq \f(π,4)＋sin 2xcos eq \f(π,4)－cos 2xsin eq \f(π,4)＝eq \r(2)sin 2x.∴y的最小值为－eq \r(2).(2)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)cos α，tan β＝eq \f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝ .答案　－eq \f(\r(3),3)解析　因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cos α－eq \f(1,2)sin α＝eq \r(3)cos α，所以－sin α＝eq \r(3)cos α，故tan α＝－eq \r(3)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋\r(3)×\f(\r(3),3))＝eq \f(－\f(2\r(3),3),2)＝－eq \f(\r(3),3).题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2　(1)(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝eq \f(1,2)B．cos(β－α)＝eq \f(1,3)C．β－α＝－eq \f(π,3)D．β－α＝eq \f(π,3)答案　AD解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝eq \f(1,2)，即选项A正确，B错误；∵γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴0c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b答案　D解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cos 56°)＝eq \f(\r(2),2)sin 56°－eq \f(\r(2),2)cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f(1－\f(sin239°,cos239°),1＋\f(sin239°,cos239°))＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案　4解析　(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三　角的变换问题例3　(1)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(5π,6)))＝eq \f(5,13)，则sin(α－β)的值为(　　)A.eq \f(16,65) B.eq \f(33,65)C.eq \f(56,65) D.eq \f(63,65)答案　A解析　由题意可得α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β－eq \f(5π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(5π,6)))＝－eq \f(12,13)，所以sin(α－β)＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(5π,6)))))＝－eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝eq \f(16,65).(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .答案　－1　eq \f(1,2)解析　∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq \f(tanα＋2β－tan β,1＋tanα＋2βtan β)＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解　(1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq \f(9,25)，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－eq \f(7,25).(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cos2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．跟踪训练3　(1)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝ .答案　eq \f(π,4)解析　因为α，β均为锐角，所以－eq \f(π,2)