(新高考)高考数学一轮复习讲义第4章§4.8解三角形及其应用举例(含详解)

§4.8　解三角形及其应用举例考试要求　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．知识梳理测量中的几个有关术语思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　√　)(2)若△ABC为锐角三角形且A＝eq \f(π,3)，则角B的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　×　)(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　×　)教材改编题1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．20eq \r(2) m B．30eq \r(2) mC．40eq \r(2) m D．50eq \r(2) m答案　D解析　由三角形内角和定理，可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)⇒eq \f(AB,\f(\r(2),2))＝eq \f(50,\f(1,2))⇒AB＝50eq \r(2).2．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m.答案　30＋10eq \r(3)解析　如图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，由eq \f(AE,sin 30°)＝eq \f(CE,sin 60°)，得AE＝10eq \r(3)，所以AB＝(30＋10eq \r(3)) m.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的面积最大值为________．答案　eq \r(3)解析　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∴4＝b2＋c2－bc，∴bc＋4＝b2＋c2≥2bc，即bc≤4(当且仅当b＝c时取“＝”)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc≤eq \r(3)，∴△ABC的面积最大值为eq \r(3).题型一　解三角形的应用举例命题点1　距离问题例1　(1)(2022·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) mC．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(2)－1) m答案　C解析　从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m，所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°，所以AB＝eq \f(60,sin 75°)，由正弦定理可得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(BC,sin 45°)，所以BC＝eq \f(ABsin 45°,sin 30°)＝eq \f(60×\r(2),sin30°＋45°)＝120(eq \r(3)－1)．(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．答案　80eq \r(5)解析　由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80eq \r(5)，故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5).命题点2　高度问题例2　(1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为9eq \r(6)米(如图所示)，则旗杆的高度为(　　)A．9米 B．27米C．9eq \r(3)米 D．9eq \r(6)米答案　B解析　依题意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知eq \f(AE,sin∠ACE)＝eq \f(AC,sin∠AEC)，∴AC＝eq \f(AE,sin∠ACE)·sin∠AEC＝18eq \r(3)(米)，∴在Rt△ABC中，BC＝AC·sin∠CAB＝18eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝27(米)．(2)(2022·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的高度为(　　)A．10eq \r(3)米 B．5eq \r(3)米C．10米 D．5米答案　B解析　设AB＝x，则BC＝x，BD＝eq \f(\r(3),3)x，在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcos∠BDC，即x2＝eq \f(1,3)x2＋100－2×eq \f(\r(3),3)x×10×eq \f(1,2)，整理得x2＋5eq \r(3)x－150＝0，解得x＝5eq \r(3)或x＝－10eq \r(3)(舍)．命题点3　角度问题例3　(1)(2022·合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°答案　B解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确．(2)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ等于(　　)A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(6)－2C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1答案　C解析　由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(AC,sin 135°)，又AB＝100 m，所以AC＝100eq \r(2) m.在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，由正弦定理得eq \f(AC,sinθ＋90°)＝eq \f(CD,sin 15°)，所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin 15°,CD)＝eq \r(3)－1.教师备选1．(2022·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10eq \r(2)海里 B．10eq \r(3)海里C．20eq \r(3)海里 D．20eq \r(2)海里答案　A解析　如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，解得BC＝10eq \r(2)(海里)．2．圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15eq \r(3)－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(　　)A．20 m B．30 mC．20eq \r(3) m D．30eq \r(3) m答案　D解析　由题意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝eq \f(AB,sin∠AMB)＝eq \f(AB,sin 15°)，在△ACM中，由正弦定理得eq \f(AM,sin 30°)＝eq \f(CM,sin 45°)，所以CM＝eq \f(AM·sin 45°,sin 30°)＝eq \f(AB·sin 45°,sin 15°·sin 30°)，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin 60°＝eq \f(AB·sin 45°·sin 60°,sin 15°·sin 30°)＝eq \f(15\r(3)－15×\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2),\f(\r(6)－\r(2),4)×\f(1,2))＝30eq \r(3)(m)．思维升华　解三角形的应用问题的要点(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．跟踪训练1　(1)如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测到A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两岛屿的距离为________海里．答案　5eq \r(6)解析　由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AD,sin 30°)＝eq \f(10,sin 45°)，所以AD＝eq \f(10sin 30°,sin 45°)＝eq \f(5,sin 45°)＝5eq \r(2)，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，所以△BCD为等腰直角三角形，则BD＝eq \r(2)CD＝10eq \r(2)，在△ABD中，由余弦定理可得AB＝eq \r(AD2＋BD2－2AD·BDcos 60°)＝5eq \r(6)(海里)．(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m.答案　100eq \r(6)解析　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，解得BC＝300eq \r(2) m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)．题型二　解三角形中的最值和范围问题例4　(2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \f(\r(3),3)bsin C＋ccos B＝a.(1)若a＝2，b＝eq \r(3)，求△ABC的面积；(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围．解　(1)∵eq \f(\r(3),3)bsin C＋ccos B＝a，∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin A，∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴eq \f(\r(3),3)sin Bsin C＝sin Bcos C，∵sin B≠0，∴eq \f(\r(3),3)sin C＝cos C，又易知cos C≠0，∴tan C＝eq \r(3)，∵0