(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.5《三角函数的图象与性质》(含详解)

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§4.5　三角函数的图象与性质考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)(3)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　)教材改编题1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2答案　A2．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定义域是(　　)A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)))))B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,12)))))C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))答案　D解析　由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z.3．函数y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的单调递减区间是________．答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z解析　因为y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，令2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，求得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，可得函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z.题型一　三角函数的定义域和值域例1　(1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．答案　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))解析　要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))故函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝eq \f(1－t2,2)，且－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1＋2\r(2),2).∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).教师备选1．函数y＝eq \r(sin x－cos x)的定义域为________．答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).2．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cos x－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．答案　1解析　由题意可得f(x)＝－cos2x＋eq \r(3)cos x＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(\r(3),2)))2＋1.∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos x∈[0,1]．∴当cos x＝eq \f(\r(3),2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取最大值为1.思维升华　(1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为eq \f(9,8) D．偶函数，最大值为eq \f(9,8)答案　D解析　由题意，f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)，所以当cos x＝eq \f(1,4)时，f(x)取最大值eq \f(9,8).(2)函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))解析　∵函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)，∴应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin 2x>0，,9－x2≥0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ