(新高考)高考数学一轮复习讲义第4章§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式(含详解)

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sin α,cos α)＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq \f(sin α,cos α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函数的诱导公式常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cos α)恒成立．(　×　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cos α＝－eq \f(1,3).(　√　)教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，则cos α的值为 ．答案　－eq \f(2\r(5),5)解析　∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，α是第二象限角，∴cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).2．已知eq \f(sin α－2cos α,3sin α＋5cos α)＝－5，那么tan α的值为 ．答案　－eq \f(23,16)解析　由eq \f(sin α－2cos α,3sin α＋5cos α)＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，解得tan α＝－eq \f(23,16).3．化简eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．答案　－sin2α解析　原式＝eq \f(sin α,cos α)·(－sin α)·cos α＝－sin2α.题型一　同角三角函数基本关系例1　(1)已知cos α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .答案　0解析　∵cos α＝－eq \f(5,13)0，cos θ0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，故tan α＝eq \f(3,2)，则eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)＝eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋sin 2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin α)＝eq \f(－sin αcos α＋2sin αcos α,－sin αsin α)＝－eq \f(cos α,sin α)＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(2,3).2．若sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，则cos x·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))等于(　　)A.eq \f(3,10) B．－eq \f(3,10)C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)答案　A解析　易知sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－3cos x，所以tan x＝－3，所以cos xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sin xcos x＝eq \f(－sin xcos x,sin2x＋cos2x)＝eq \f(－tan x,tan2x＋1)＝eq \f(3,10).思维升华　(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数eq \o(――――――→,\s\up7(利用诱导公式),\s\do5(三或一))任意正角的三角函数eq \o(――――――→,\s\up7(利用诱导公式一))0～2π内的角的三角函数eq \o(――――――→,\s\up7(利用诱导公式二),\s\do5(或四或五或六))锐角三角函数．跟踪训练2　(1)已知cos(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .答案　0解析　因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－eq \f(1,3)，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝eq \f(1,3).所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝0.(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则eq \f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝ .答案　3解析　由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，eq \f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝eq \f(sinπ＋α＋cosπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq \f(－sin α－cos α,－sin α＋cos α)＝eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3.题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3　已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值；(3)若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．解　(1)f(α)＝eq \f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α)＝eq \f(－sin α×cos α×－cos α,－cos α×sin α)＝－cos α.(2)若α＝－eq \f(31π,3)，则f(α)＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－cos eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).(3)由coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，可得sin α＝－eq \f(1,5)，因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cos α＝－eq \f(2\r(6),5)，所以f(α)＝－cos α＝eq \f(2\r(6),5).教师备选设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)．(1)化简f(α)；(2)若α＝－eq \f(23π,6)，求f(α)的值．解　(1)f(α)＝eq \f(－2sin α·－cos α－－cos α,1＋sin2α＋sin α－cos2α)＝eq \f(2sin αcos α＋cos α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cos α2sin α＋1,sin α2sin α＋1)＝eq \f(cos α,sin α)＝eq \f(1,tan α).(2)当α＝－eq \f(23π,6)时，f(α)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan \f(π,6))＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3).思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)答案　C解析　由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．(2)已知－π