初中数学北师大版九年级下册第三章 圆1 圆课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆1 圆课时训练，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训3.4.3 直径所对圆周角+隐形圆
一、单选题
1．给出下列命题：①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆上两点间的线段叫弧；⑤过圆心的线段是直径；⑥直角三角形的三个顶点在同一个圆上．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据圆中的基本定义进行逐项分析判断即可．
【详解】
解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，故弦不一定是直径，错误；
②圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧叫做等弧，错误；
④圆上两点间的线段叫弦，错误；
⑤过圆心的弦是直径，错误；
⑥直角三角形的三个顶点共圆，都在以斜边的一半为半径的圆上，正确；
∴正确的有②⑥两个，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆中的基本概念和定义，理解并熟记基本定义是解题关键．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）

A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】
由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-∠A=50°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．
3．如图，已知内接于，是的直径，平分，交于，若，则的长为（ ）

A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
连接，由平分，可得，根据圆周角定理推论得为等腰直角三角形，，计算即可．
【详解】
解：如图：

连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，圆周角定理推论，等腰三角形的判定等相关知识点，牢记定理内容是解题关键．
4．如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接，由圆周角定理可知，再根据可知，由勾股定理即可得出的长．
【详解】
解：连接，

是的直径，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰直角三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
5．如图，已知AB是的直径，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知定理并灵活运用在题目上是解题的关键．
6．如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
作直径AD，连接BD，在上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝140°，∠ABD＝90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，根据互余可计算出∠BAD＝50°．
【详解】
解：作直径AD，连接BD、AB，如图，

∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；
在上取一点E，连接AE、BE，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（　　）

A．36° B．44° C．52° D．55°
【答案】A
【详解】
【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝110°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可．
【解答】解：∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°．
∵四边形ABCD为圆O内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝108°．
因为D为弧AC中点，
∴＝，
∴AD＝CD．
∴∠DAC＝∠DCA．
∴∠DAC＝＝36°．
故选：A．

8．如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】
首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径．
【详解】
解：连接，
，
，
是的直径，
，，
，
的半径为：．
故选：A．

【点睛】
此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．
9．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠D＝∠B，然后利用互余计算出∠B即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
法一：首先根据题意得出，然后根据圆直径所对的圆周角等于90°得出在以为直径的上，得到点O，P，C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC的长度，减去OP的长度即可求出PC的长度．
法二：首先根据题意得出，取中点，连接，，根据三角形两边之差小于第三边得出点P，D，C共线时PC的长度最小，利用勾股定理求出DC的长度，然后再减去DP的长度即可求出PC的长度．
【详解】
解：法一：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的上，如图①，连接交于点，此时最小，

在中，∵，，，
∴，
∴．
∴的最小值为2．
故选：B．
法二：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，取中点，连接，，如图②．

∵，
∴．
∵，，
∴．
在中，（当且仅当在线段上时，取等号），
故最小值为．
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理的运用，动点线段最值问题，解题的关键是根据题意分析出AB的中点和点P，点C共线时PC的长度最小．
11．四边形中，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的直角三角形，则对角线的长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由△ABC是以AC为斜边的直角三角形可知点B在以AC为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD长度的取值范围．
【详解】
∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴点B在以AC为直径的圆上，
如图中⊙O，连接OD并延长，交⊙O于点E和点B，

∵等边△ACD的边长为6，
∴AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD⊥AC，
∴∠COD=90°，
∴OD=，
∴BD=OD+OB=，
是边长为6的等边三角形，
当与重合时，最小
∴对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤．
故选：C．
【点睛】
本题考查了90°角所对的弦是圆的直径、等边三角的性质、点到圆上任意点的距离和勾股定理，发现点B在以AC为直径的圆上是解题的关键．
12．如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（ ）

A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣
【答案】D
【分析】
连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT，根据∠ABO=90° ，可知AB为圆的直径，T为圆心，PC的最小长度即为点C到圆T上一点的最短距离.
【详解】
解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．
∵A（6，0），B（0，2），
∴OA＝6，OB＝2，
∵∠ABO=90° ，
∴，AB为圆的直径，
∴TB＝AT＝PT＝，
∴T（，）即（3，1），
∵C（0，﹣3），
∴
∴PC≥CT﹣PT＝5﹣，
∴PC的最小值为5-．
故选D．

【点睛】
本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆外一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13．如图，在正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，垂足为P，连接．若正方形的边长为1，则线段的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据∠APB得到点P的轨迹，从而得到CP最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵AE⊥BF交于点P，且∠APB=90°，
取AB中点O，连接PO，
则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上，
∵点E、F分别在正方形的边CD和AD上，
∴当点E与点C重合时，CP的值最小，即为CP′，
P′为正方形ABCD的对角线AC和BD的交点，
∵AB=BC=1，
∴CP′=AC==，
故选B．

【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，确定出点P的轨迹，得到CP最小时的位置是解题的关键．


二、填空题
14．如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数为______．

【答案】25°
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠B=∠D，然后利用互余计算出∠B，从而得到∠ADC的度数．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠CAB=90°-65°=25°，
∴∠ADC=∠B=25°．
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，、交于点，若，，则________．

【答案】5
【分析】
由题意得，AB是直径，则，根据勾股定理可得，，又根据点C为半圆的直径，得出，由勾股定理可得AC=5．
【详解】
解：如图所示，连接OC，
，
∵AB是直径，
∴，
在中，AD=1，BD＝，
∴，
∴，
∵点C为半圆的中点，
∴，∠AOC=90°
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角的推论，勾股定理，解题的关键是掌握圆周角的推论．
16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___．

【答案】35°
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为(2，0)，点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．
解：如图2，连接BC．
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径（依据是_____）．
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是_____）．
∴．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．

【答案】90°的圆周角所对的弦是直径 同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】
先利用圆周角定理判断BC是⊙A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC即可．
【详解】
解：如图2，连接BC，
∵∠BOC＝90°，
∴BC是⊙A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵∠ODB＝30°，
∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴．
∵OB＝2，
∴BC＝4．即⊙A的半径为2．
故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．

【点睛】
本题考查圆周角性质，30°角直角三角形性质，推理的依据，掌握基础知识，基本定理是解题关键．
18．如图，在中，，，，P是所在平面内一点，且满足，则的最大值为________．

【答案】+2
【分析】
由于∠APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接BO，然后根据点与圆的位置关系确定PB的最大值．
【详解】
解：∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴AB=2BC，又AC=4，
∴，
解得：BC=，
∵PA⊥PC，即∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆O上，
如图，当P、O、B三点共线时，PB最大，
∵BC=，OC=AC=2，
∴BO==，
∴PB=+2，
故答案为：+2．

【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，利用90°的圆周角所对的弦是直径构造圆O是解题的关键．
19．如图，在等腰中，，，点D是边上动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为___________．

【答案】﹣1
【分析】
连接AE，如图1，根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的圆O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=，从而得到CE的最小值．
【详解】
解：连接AE，如图，

∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的圆O上，
∵
∴圆O的半径为1，
∴当点O、E、 C共线时，CE最小，如图2

在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴OC=，
∴CE=OC−OE=﹣1，
即线段CE长度的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质．

三、解答题
20．如图所示，AB为的直径，点C为的中点，点M为OB的中点，连接CM并延长交于点D，若，求CD的长．

【答案】
【分析】
方法1，求弦长，可以利用垂径定理，即过点O作于点H，利用已知条件求出CH的长．
方法2，依据直径所对的圆周角是直角构造以CD为边的直角三角形，在该直角三角形中直接求出CD的长．
【详解】
方法1 如图所示，过点O作于点H，连接OC，则．

点M为OB的中点，，
．
点C为的中点，
．
在中，．
，即，，
．
方法2 如图所示，作直径CE，连接DE．

点M为OB的中点，，
．
CE是的直径，
，
点C为的中点，
．
在中，．
，即，
．
【点睛】
本题考查垂径定理的应用、勾股定理的应用、圆周角的性质，关键是根据题意能分析出是利用垂径定理来解答，难点是分析作出辅助线的方法和灵魂运用勾股定理进行计算.
21．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点，C为网格线的三等分点，过点B，C的圆O与线段AB交于点D．
（Ⅰ）线段AC的长等于___；
（Ⅱ）请借助无刻度直尺在给定的网格中画出圆心O，并简要说明你是怎么画出点O．______

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详解见解析．
【分析】
（Ⅰ）过点C作CE⊥AB，交AB延长线于E，然后根据题意分别求出CE、AE的长度，再根据勾股定理计算AC的长度即可；
（Ⅱ）根据直径所对的圆周角为90°，在圆上画出两个直角三角形，两个直角三角形斜边的交点即为所求．
【详解】
解：（Ⅰ）如图所示，过点C作CE⊥AB，交AB延长线于E
∵图中方格都是由边长为1的小正方形组成的
∴四边形BECR为矩形
∴EC=BR=3，BE=CR
∵C为网格线的三等分点
∴
∴
在中：

（Ⅱ）如图所示，过点C作CE⊥GC，交AB延长线于E，交圆O于F，连接GF
∵GC⊥CF
∴∠FCG=90°
∴FG即为圆的一条直径（直径所对的圆周角为90°）
同理连接TP交FG于O即为所求．

【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆周角为90°和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解．
22．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B=40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD=DE；
（3）若AD=4，求CE的长度．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据平行线的性质可得∠AOD=∠B，根据圆的半径相等 OA=OD，可得∠ADO= ∠A，进而根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据圆内接四边形的性质，以及三角形内角和定理，进行角度的转化，求得，进而证明CD=DE；
（3）连接OE，AE，在与中，设，根据，列出方程解方程即可求得．
【详解】
解：（1）∵OD∥BC
∴∠AOD=∠B=40°
∵OA=OD，
∴∠ADO= ∠A
∴∠A=．
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O
∴∠CDE =∠B，∠DEC= ∠A
∴∠CDE = ∠AOD
∵∠C =180°– ∠CDE – ∠DEC
∠ADO =180°– ∠A – ∠AOD
∴∠C = ∠ADO =∠A
∴∠C = ∠DEC
∴CD = DE．
（3）连接OE，AE，

由（2）得AB=BC=12
∴∠AOE = 2∠B，∠B= ∠AOD
∴∠AOE = 2∠AOD
∴∠AOD =∠DOE
∴AD = DE
∴AC=2AD=8
∵AB是直径：∠AEB=90°
在与中，
设CE=x，则BE=12-x
AC2-CE2=AB2-BE2
即．
解得：．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直径所对的圆心是90°，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4， AD＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则AD⊥BC，然后根据等腰三角形的性质得到DB＝DC；
（2）利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，再根据圆周角定理得到∠B＝∠E，所以∠C＝∠E，于是有DE＝BD＝3，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O 的半径．
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，即点D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
而DC＝BD，
∴DE＝BD＝4，
∵AD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝＝，
∴⊙O 的半径为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定和勾股定理，解题关键是熟练运用圆周角定理和等腰三角形性质进行证明推理，运用勾股定理准确进行计算．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠ADB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由见解析．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再根据圆周角定理可得∠ADB＝45°；
（2）利用旋转的性质和AD∥BF，证明（SAS），得到EF=MF，再证明，利用勾股定理可得AE、CF、EF的关系．
【详解】
（1）如图1，∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．
理由如下：如图所示，设绕点B逆时针旋转得到，连接FM，

∴，
∴，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
∴,
∴，
∴,
在和中，

∴（SAS），
∴EF=EM，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，
，
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相应的知识点．
25．如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．

【答案】．
【详解】
解：如解图，连接、，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
取的中点为，以为圆心，长为半径作圆，则点在圆上．
连接，作于点，连接交于点，则为所求的最小值，
∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∴由勾股定理得，
∴，即的最小值为．

26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，以CD为直径作⊙O，分别与AC，
BC，AB交于点E，F，G．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若CE＝4，CF＝3，求DG的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由题意连接ED，根据圆周角定理和直角三角形斜边中线是斜边的一半证得，进而即可求证；
（2）根据题意连接CG，EF，设，结合勾股定理利用建立方程即可求得DG的长．
【详解】
（1）证明：连接ED，

∵CD为直径,
∴,
∵∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接CG，EF，

∵∠ACB＝90°，CE＝4，CF＝3，
∴EF为直径，,
∵CD为直径,
∴,
设，
则有,
∵,,
∴
∴，解得，
∴.
【点睛】
本题考查圆周角定理以及全等三角形判定和性质与勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线是斜边的一半以及结合勾股定理利用方程思维求解是解题的关键.
27．如图，正方形的边长为6，点、分别在、上，且，与交于点，连接，求的最小值．

【答案】．
【详解】
解：∵在正方形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴点在以的中点为圆心，为直径的半圆上运动，连接，如解图，
∴当、、三点共线时，长度最小，
∵，，
∴由勾股定理得．
∴的最小值为．

28．如图，在中，已知，，求的周长的最大值．

【答案】．
【详解】
解：如解图，延长至点，使，连接，则，
又∵，，
∴，即点在以为弦，其所对的圆周角为60°的弧上运动．
当为直径时，其长度最大，此时，如解图，
在中，，，
设，，根据勾股定理得，
解得（负值舍去），∴．
∴的周长的最大值为．

29．△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形
（1）如图①，当时，四边形PEDC为____________________；
（2）猜想：当△PAB满足相应的条件：①PA=PB；②∠APB=150°其中的一个或两个时，顺次连接P、E、D、C四点所构成的四边形是特殊四边形，选择其中的一种情况加以证明：
当满足条件__________时，构成的四边形为___________，请写出证明过程；
（3）如图②，△APB中，AB=2，∠APB=90°，请直接写出四边形PEDC面积的最大值______．

【答案】（1）见解析；（2）①或②或①②，菱形或矩形或正方形．（3）1
【分析】
（1）证明DE=PC，PE=CD即可．
（2）有三种情形：选①PA=PB，为菱形．选②∠APB=150°，为矩形．选①PA=PB，②∠APB=150°，为正方形．根据菱形，矩形，正方形的判定解决问题即可．
（3）过P作PG⊥AB于G，过P作PH⊥AE，交AE于H，依据ED=CP，EP=DC，即可得出四边形PCDE是平行四边形，依据∠EPH=30°，即可得出EH=EP=AP，进而得到S平行四边形CDEP=EP×CP=AP×BP=S△ABP，以AB为直径作圆，当PG最大时，S△ABP的面积最大，进而得出四边形PCDE面积的最大值是1．
【详解】
解：（1）∵△AEP，△DAB是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE=BP，
∴PC=PB，
∴DE=PC，
同法可证PE=CD，
∴四边形PEDC是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
（2）有三种情形：选①PA=PB，为菱形．选②∠APB=150°，为矩形．选①PA=PB，②∠APB=150°，为正方形．
理由：当PA=PB时，
∵PE=PA，PC=PB，
∴PE=PC，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是菱形．
当∠APB=150°时，∵∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是矩形．
当PA=PB，∠APB=150°，
∵四边形PEDC既是菱形，又是矩形，
∴四边形PEDC是正方形．
故答案为：①或②或①②，菱形或矩形或正方形．
（3）如图所示，过P作PG⊥AB于G，过P作PH⊥AE，交AE于H，

∵∠APE=∠BPC=60°，∠APB=90°，
∴∠EPC=150°，
∵△APE是正三角形，PH⊥AE，
∴∠APH=∠EPH=30°，
∴∠CPH=180°，即点C、P、H在一条直线上，
在正△ABD、正△APE和正△BPC，
∴AE=AP，AD=AB，BP=CP，∠EAP=∠DAB=60°=∠CPB，
∴∠DAE=∠BAP，
∴△AED≌△APB（SAS），
∴ED=BP，
∴ED=CP，
同理可得EP=DC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠EPH=30°，
∴EH=EP=AP，
∴S平行四边形CDEP=EH×CP=AP×BP=S△ABP，
∵AB=2，∠APB=90°，
∴以AB为直径作圆，当PG最大时，S△ABP的面积最大，
此时GP为半径，
∴S△ABP=×2×1=1，
∴四边形PCDE面积的最大值是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会作辅助线构造平行四边形的高线解决问题，属于中考压轴题．
30．在正方形中，动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．

（1）如图1，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，请你直接写出与的关系．
（2）如图2，当，分别在边，的延长线上移动时，连接，，，当为等腰三角形时，求的值．
（3）如图3，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，由于点，的移动，使得点也随之运动．若，求线段的最小值．
【答案】（1）；（2）或2:1；（3）
【分析】
（1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，利用运动速度与时间得出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，得出AE=DF，∠DAE=∠FDC即可；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由利用三角形全等证出DE=DC =a即可；
（3）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径以AD中点为圆心，AD为直径的弧DG，设AD的中点为Q，连接QC，当点Q、P、C三点共线时，CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
【详解】
解：（1），；理由是：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动，
∴，
在和中，

∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）或．
理由：有两种情况：
如图1，当时，

设正方形的边长为，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：，
则；
②如图2，当时，

设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，即，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，

Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）
∴，
∴CE=2CD=2，
∴；
综上所述，或2:1；
故答案为：或2:1；
（3）设的中点为，
如图：由于点在运动中保持，

∴点的路径是一段以的中点为圆心，以为直径的弧，
连结CQ，当点C、P、Q共线时CP最短，
∵PQ+CP≥CQ，
∴CP≥CQ-PQ，
在中，，
∴．
即的最小值为：
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，解题时需要运用分类讨论思想．